Конструктивно встраивание $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ в $\mathbb{R}$
Используя аксиому выбора, можно доказать, что $\mathbb{R}$ изоморфен $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ как векторное пространство над $\mathbb{Q}$. (Предполагая AC, оба пространства имеют базис Гамеля над$\mathbb{Q}$ одинаковой мощности и, следовательно, изоморфны.)
Итак, мой вопрос: есть ли такой изоморфизм между $\mathbb{R}$ и $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ можно построить без AC или, по крайней мере, можно ли вложить $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ в $\mathbb{R}$без переменного тока. (Под вложением я подразумеваю построение инъективного$\mathbb{Q}$-линейная карта из одного пространства в другое.)
Последнее эквивалентно вопросу, можем ли мы построить подпространство $\mathbb{R}$ который имеет основу Шаудера над $\mathbb{Q}$, поскольку такое подпространство должно автоматически быть изоморфным $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$.
Спасибо за помощь!
Ответы
На самом деле с ZF согласуется отсутствие нетривиальных гомоморфизмов $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$. Цитата из предыдущего ответа, в котором это произошло:
Шелах построил модель ZF , в которой каждый набор действительных чисел обладает свойством Бэра . Это означает, если я правильно понимаю, что нет ненулевых гомоморфизмов из$\mathbb{R}$к любой счетной абелевой группе (поскольку любая счетная абелева группа с дискретной топологией является польской группой , поэтому в этой модели любой гомоморфизм из$\mathbb{R}$для такой группы автоматически измеряется и поэтому автоматически непрерывно). Так$\mathbb{R}$, и $SO(2)$, в этой модели нет подгрупп счетного индекса.
Это не исключает возможности явного встраивания $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; Я не уверен, так или иначе, существует ли такая вещь, но я готов поспорить, что это не так. Готов поспорить, что в ZF все линейные карты$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ факторов через проекцию на некоторое конечное подмножество факторов.