Лемма для доказательства существования бесконечного числа простых чисел

Aug 18 2020

Эта задача взята из « Введения в математические структуры и доказательства» Герштейна . Часть b задачи состоит в том, чтобы дать особый вид доказательства того, что простых чисел бесконечно много. Меня интересует часть а, требуемая лемма. Утверждается часть а:

Покажи это, если $n \ge 3$ тогда существует простое число p, удовлетворяющее $n \lt p \le n!-1$.

Есть подсказка:

"Рассмотрим простой делитель p числа $(n-1)!-1$. Почему существует p? "

Вот моя попытка решения:

p существует, потому что каждое целое число имеет простой делитель. Для k-го простого числа$p_k$, определить

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ где $p_i$ это i-е простое число.

Символ p обозначает простой делитель числа $(n-1)!-1$. Моя догадка заключается в том, что$p!!+1$простое. Нам нужно только показать, что он находится в требуемом диапазоне.

Разумно (хотя я этого и не доказал) предположить, что $p!!+1 > n$.

$p!!$представляет собой произведение менее n целых чисел, каждое из которых меньше или равно p, которое больше или равно n. Так$p!!+1\le n!-1$ и предполагаемое доказательство, как оно есть, было бы полным.

Есть ли смысл в этом аргументе? Если нет, то как можно продемонстрировать это предложение?

Ответы

2 BrianM.Scott Aug 18 2020 at 09:46

$13!!+1=30031=59\cdot509$ не является простым, поэтому аргумент не может работать.

Однако верно то, что $n!-1$ имеет простой делитель $p$, и ясно $p\le n!-1$, поэтому нам нужно только показать, что $p>n$. поскольку$p\mid n!-1$ясно $p\not\mid n!$; но каждое положительное целое число$\le n$ разделяет $n!$, так $p$ не может быть $\le n$. Таким образом, мы должны иметь$n<p\le n!-1$.