Локальное поведение модуля, локализованного на простом идеале

Question

Позволять $R$ коммутативное кольцо и $p,q$ быть двумя простыми идеалами $R$ с участием $q\subset p$. Мы знаем$(R_p)_{qR_p}\cong R_q $как кольца. Позволять$M$ быть $R$-модуль. Это правда, что$(M_p)_{qR_p}\cong M_q$ так как $R_q$-модули?

Answer 1

Данный $S^{-1}M \cong S^{-1}R\otimes_R M$ и $(R_p)_{qR_p} \cong R_q$, у нас есть

$$(M_p)_{qR_p} \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} M_p \cong (R_p)_{qR_p} \otimes_{R_p} R_p \otimes_R M \cong R_q\otimes_R M \cong M_q$$

что показывает желаемый изоморфизм.