Максимальная относительная энтропия между состоянием и его маргиналами

Question

Задний план

Квантовая относительная энтропия определяется для любых квантовых состояний $\rho, \sigma$ так как

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

При произвольном выборе $\rho,\sigma$, квантовая относительная энтропия может принимать любое неотрицательное значение. Рассмотрим какое-то двудольное состояние$\rho_{AB}$ и пусть его маргиналы будут $\rho_A$ и $\rho_B$. Если мы рассмотрим$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, у нас есть взаимная информация. Более того, у нас есть

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

Вопрос

Одноразовым аналогом относительной энтропии является максимальная относительная энтропия, которая определяется как

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

где $A\geq B$ используется для обозначения того, что $A-B$положительно полуопределенный. Как и обычная относительная энтропия, максимальная относительная энтропия также может принимать любое неотрицательное значение. Если я сейчас рассматриваю$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, есть ли верхняя граница максимального значения, которое он может принимать?

Я считаю, что да, поскольку в случае $+\infty$ исключено из-за поддержки $\rho_{AB}$ содержится в поддержке $\rho_A\otimes\rho_B$ но не смогли найти границу.

Answer 1

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ Состояние, которое насыщает границу взаимной информации, есть $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ где $N = \min(|A|,|B|)$ и $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ являются основой для $A,B$соответственно. Интуитивно это состояние максимизирует энтропию маргиналов при сохранении$A$ и $B$ прекрасно соотносятся.

Это состояние дает $I_{\max} = \log_2(N)$. Я не доказал, что это верхняя граница, но похоже, что это хорошее место для начала.