Моноидальные категории, тензор которых имеет сопряженный слева
Есть ли название для моноидальных категорий $(\mathscr V, \otimes, I)$ такой, что $\otimes$ имеет левый сопряженный $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? Их где-нибудь изучали? Какие есть интересные примеры?
Пара замечаний: когда $I : 1 \to \mathscr V$ имеет левый сопряженный, то $\mathscr V$полукртезианская, т.е. единица терминальная. Когда$\otimes$ имеет левый сопряженный элемент, который, кроме того, является диагональю $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, тогда $\mathscr V$ имеет бинарные продукты.
Я разверну определение здесь, чтобы сделать структуру более явной. Позволять$(\mathscr V, \otimes, I)$ - моноидальная категория. $\otimes$ имеет левый сопряженный, если выполняется следующее.
- эндофункторы $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ а также $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- для каждой пары морфизмов $f : \ell(X) \to Y$ а также $g : r(X) \to Z$, морфизм $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- для каждого морфизма $h : X \to Y \otimes Z$, морфизмы $h_\ell : \ell(X) \to Y$ а также $h_r : r(X) \to Z$,
такое, что для всех $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ а также $z : Z \to Z'$, у нас есть $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
Ответы
Просто чтобы очистить $\epsilon$места, оставшегося после ответа Цяочу - мы можем избавиться от лишних гипотез. Я напишу$I$ для моноидального блока и $1$ для конечного объекта.
Предположить, что $(\ell,r) \dashv \otimes$. Тогда естественные изоморфизмы$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ дать начало картам $\ell A \to I$ а также $r A \to I$, естественно в $A$. У нас также есть карта объекта$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, естественно в $A$. Тензор и компоновка, получаем карту$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, естественно в $A$. То есть у нас есть кокон (с вершиной$I$) от тождественного функтора для $V$. Отсюда следует, что в идемпотентном пополнении$\tilde V$ из $V$, есть конечный объект (который должен быть ретрактом $I$).
Теперь идемпотентное пополнение $\tilde V$ снова имеет моноидальную структуру $\tilde \otimes$ с левым сопряженным $(\tilde \ell, \tilde r)$. Таким образом, первую часть аргумента Цяочу Экмана-Хилтона можно провести в$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (в третьем выражении продукты существуют тривиально, а в четвертом продукт существует, потому что $\otimes$сохраняет продукты). То есть мы должны иметь$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. Но$I_{\tilde V}$ это изображение $I_V$ в $\tilde V$, а включение в идемпотентное пополнение отражает терминальные объекты. Следовательно$V$ имеет конечный объект и $1_V = I_V$.
Затем, как отмечалось в комментариях выше, вторая часть аргумента Экмана-Хилтона Цяочу может быть запущена в $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (во втором выражении продукты существуют тривиально, а в третьем продукт существует, потому что $\otimes$сохраняет продукты). То есть бинарные продукты существуют в$V$ и согласен с $\otimes$. Фактически, тождественный функтор является моноидальным функтором oplax из$(V,\otimes)$ к $(V,\times)$, который, как показывает аргумент, на самом деле является сильным моноидальным. Таким образом$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ как моноидальные категории.
Если $\otimes : V \times V \to V$ имеет левый сопряженный и $V$ имеет конечные продукты, то $\otimes$ сохраняет их в том смысле, что естественное отображение
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
является изоморфизмом. Мне кажется, что в соответствии с моноидально-категоричной версией аргумента Экмана-Хилтона это означает, что$\otimes$это продукт. Явно, если мы позволим$1_{\times}$ обозначают конечный объект и $1_{\otimes}$ обозначим моноидальную единицу, то получим изоморфизмы
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
так $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(и этот изоморфизм уникален, если он существует, поэтому нам даже не нужно так сильно беспокоиться о естественности). Теперь мы можем отбросить возмутительные индексы и просто сослаться на$1$. Это дает естественный изоморфизм
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
для любой $X, Y$. На самом деле я не уверен, показывает ли этот аргумент, что ассоциатор и объединитель$\otimes$ совпадают с ассоциатором и объединителем продукта, но я предполагаю, что более сложная версия этого аргумента подходит.
Я не знаю, возможно ли это $V$не имеет конечных продуктов. (Ранее здесь был аргумент, связанный с дневной сверткой, но Тим указал на пробелы в комментариях.)