Можно ли найти (неквадратное) целое число, которое является квадратичным вычетом по модулю заданного бесконечного списка простых чисел?
Мне интересно, возможно ли это, учитывая простое число p и бесконечный список простых чисел $q_1$, $q_2$, ... найти целое число d, которое (1) не является квадратом по модулю p, но (2) является квадратом по модулю$q_i$для всех я. Всегда, иногда, никогда? Возможно, иногда --- какие условия? В приложении, которое я имею в виду,$q_i$ все простые делители чисел $p^{2^n}-1$ поскольку n изменяется от 1 до бесконечности, но это несколько гибко.
(Приложение, кстати, включает в себя p-адическую интерполяцию возведения в степень рациональных целых чисел и распространение ее на кольца целых чисел в башнях числовых полей.)
[ETA: я забыл упомянуть, что d также должно быть квадратным модулем 8 для приложения, что исключает ответ -1, приведенный ниже.]
Для конечного списка d можно построить с помощью китайской теоремы об остатках, но здесь это, похоже, не помогает.
Учитывая d, квадратичная взаимность дает бесконечный набор простых чисел, для которых d является квадратом, но мне нужны простые числа, указанные в первую очередь.
Грюнвальд-Ван говорит, если я правильно понимаю, что условие (1) означает, что d не является квадратом по модулю$q$ для бесконечно большого числа простых чисел $q$, но ничего не говорит о простых числах, для которых d является квадратом.
Теорема Чеботарова о плотности, кажется, подразумевает, что множество возможных d имеет нулевую плотность, но не исключает (или подразумевает), что одно такое d существует.
Спасибо за любую помощь, источники или советы!
---- Джош
Ответы
Это зависит от данного списка простых чисел. Более простое, но необходимое условие - наличие$d$ так что все простые числа списка (больше, чем $d$) сосредоточены в нескольких классах конгруэнтности $\bmod 4d.$ Мы можем придерживаться нечетных простых делителей, поскольку все является квадратичным вычетом $\bmod 2.$
Если в списке все простые числа, совпадающие с $1 \bmod 4$ тогда $-1$- обычный квадратичный вычет. Это, наверное, не кажется очень захватывающим.
Если список состоит из нечетных простых делителей числа $3^{2^n}-1$ в виде $n$ пробегает положительные целые числа, тогда $-1$снова является обычным квадратичным вычетом. Это то, о чем вы говорили. Но причина в том, что все эти простые числа$1 \bmod 4$
Если я не ошибаюсь, и по той же причине, $-1$ является общим квадратичным вычетом простых делителей числа $p^{2^n}-1$ в виде $n$ колеблется от целых чисел, начиная с $2.$
Для некоторых простых чисел, таких как $5,7,17,19,31,53,59$ мы можем расширить список до всех простых делителей числа $p^{2^n}-1$ за исключением $3.$ В общем случае достаточно отбросить любые делители числа $p^2-1$ которые $3 \bmod 4.$
Факты, стоящие за этим
- $p^{2^n}-1=(p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)\cdots(p^{2^{n-1}}+1)$
- каждый нечетный фактор $p^{2^m}+1$ имеет форму $2^{m+1}q+1$
- $-1$ является квадратичным вычетом для простых чисел, которые $1 \bmod 4.$
Сначала подумайте об этом (легком) вопросе. Для фиксированных$d$ какие нечетные простые числа $q$ такой, что $d$ квадратичный вычет $\bmod q?$ Назовите этот набор $G_d.$ Можно предположить, что $d$ не содержит квадратов.
Тогда члены $G_d$ простые делители $d$ вместе с этими простыми числами в объединении определенных классов конгруэнтности $\bmod 4d.$ Половина занятий $(r \bmod 4d)$ с участием $\gcd(r,4d)=1$
В некоторых случаях ($d$ даже или $d$ нечетное со всеми делителями $1 \bmod 4$) достаточно рассмотреть классы конгруэнции $\bmod 2d$. Однако то, что написано, по-прежнему верно. Я проигнорирую твой$p$ исходя из предположения, что цель состояла в том, чтобы исключить $d$ будучи квадратом.
Тогда конкретный $d$ работает для конкретного случая вашей проблемы, именно если выбранный список является одним из бесчисленного множества бесконечных подмножеств $G_d.$
С другой стороны, предположим, что члены списка (кроме делителей $d$ в списке, если есть) выбираются из некоторых $k \ll \phi(d)$ классов конгруэнтности $\bmod 4d$. Тогда, если$k$ выбираются случайным образом, вероятность того, что $d$ будет работать меньше чем $2^{-k}$.
Итак, начиная со списка $\mathbf{q}=q_1,q_2,\cdots$ первый вопрос: «Есть ли основания подозревать, что существует $M$ так что все члены $\mathbf{q}$ (премьер к $M$) сосредоточены в нескольких классах конгруэнтности $\bmod M?$«Если этого не произойдет, то нет никакой надежды. $M,$ тогда шансы все еще могут быть низкими.
Так что это очень сильно зависит от того, где $\mathbf{q}$ происходит от.
Кстати, проблема поиска $d$ который является квадратичным невычетом относительно всех $q \in \mathbf{q},$ одинаково сложно.