Можно ли найти ортогональную матрицу $V\in M_n(\Bbb R)$ ул $A=VDV^T$ со столбцом, не пропорциональным ни одному столбцу $U$?
Позволять $A\in M_n(\Bbb R)$ - симметричная матрица с (строго) меньше, чем $n$различные собственные значения. поскольку$A$ диагонализируется, мы можем записать его как $A=UDU^T$ где $U\in M_n(\Bbb R)$ ортогонален и $D\in M_n(\Bbb R)$ диагональный.
Вопрос:
Можно ли найти ортогональную матрицу $V\in M_n(\Bbb R)$ ул $A=VDV^T$ при условии, что хотя бы один столбец $V$ не пропорционален ни одному столбцу $U$?
Мои мысли:
Я думаю, что их меньше $n$ различные собственные значения гарантируют, что можно найти такие $V$иначе это было бы невозможно.
Поскольку меньше чем $n$ различные собственные значения, существует собственное подпространство $E_{\lambda'}$ соответствующему собственному значению $\lambda'$ ул $\dim\left(E_{\lambda'}\right)=k\geqslant 2$.
Позволять $\{e_1,\ldots,e_k\}$ быть ортонормированным основанием для собственного подпространства $E_{\lambda'}$ и давайте посмотрим на один самолет в $\Bbb R^n$ охватывает, скажем, $M=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$.
Позволять $f_1=\frac{e_1+e_2}{\left\|e_1+e_2\right\|}$. потом$f_2\in M$ - другой единичный вектор (в той же плоскости) st $f_1\perp f_2$.
На самом деле, мы могли бы применить Грамма-Шмидта к произвольному базису, записанному как$\{\alpha e_1+\beta e_2,\gamma e_1+\delta e_2\},\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\Bbb R$.
Я думал, что могу достичь того же результата, вращая $e_1$ и $e_2$ в плоскости $M$ под каким-то углом $\varphi\ne k\pi,k\in\Bbb Z$.
Если эта часть моего утверждения верна, то, конечно, $\{f_1,f_2,e_3,\ldots,e_k\}$ также является ортонормированным базисом для $M$. Я считаю, что это может быть индуктивно для любого$M\leqslant E_{\lambda'}$, где $2\leqslant\dim M\leqslant\dim E_{\lambda'}$.
Могу я попросить проверить заявление и дать совет, как кратко (опровергнуть) его?
Заранее спасибо!
Ответы
Ответ положительный.
Я рекомендую следующий подход. Во-первых, обратите внимание, что$$ A = VDV^T = UDU^T \implies\\ VDV^T = UDU^T \implies\\ U^TVDV^TU = U^TUDU^TU \implies\\ (U^TV) D(U^TV)^T = D. $$ Имея это в виду, позвольте $W$ обозначим ортогональную матрицу $W = U^TV$. У нас есть$$ WDW^T = D \implies WD = DW. $$ Другими словами, $W$ ортогональная матрица, для которой $WD = DW$. Имейте в виду, что как только у нас будет$W$, у нас есть $W = U^TV \implies V = UW$.
В настоящее время, $A$имеет повторяющееся собственное значение; назовите это собственное значение$\lambda$. Без ограничения общности предположим, что$\lambda$ занимает первое место среди диагональных записей $D$, и писать $$ D = \pmatrix{\lambda I_k & 0\\0 & D'} $$ где $I_k$ это размер $k$ единичная матрица (с $k \geq 2$) и $D'$тоже диагональный. Я утверждаю, что если$W_1$есть ли $k \times k$ ортогональная матрица an $W_2$ диагонально с $\pm1$s, то блочная матрица $$ W = \pmatrix{W_1 & 0\\0 & W_2} $$ будет ортогональным и удовлетворять $WD = DW$. Оговоримся, что для нашего выбора$W$, $W_1$ не имеет нулевых записей.
Теперь обратите внимание, что записи $W$ являются скалярными произведениями столбцов $U$ с колоннами $V$. Имея это в виду, сделайте вывод, что, поскольку первый столбец$W$ имеет $k \geq 2$ ненулевые записи, первый столбец $V$это не кратна любой из столбцов$U$.