Можно ли охарактеризовать максимальные антицепи в терминах дистрибутивных решеток?
Это навеяно недавним вопросом Проверка максимальной антицепи.
Знаменитая двойственность конечных множеств и конечных дистрибутивных решеток имеет несколько хороших формулировок. Один из них присваивает позу$P$ решетка $\mathscr D\!P$из его неудач (мне нравится это слово, придуманное, я думаю, Фрейдом). Падение$P$ подмножество $D\subseteq P$ удовлетворение $p\leqslant q\in D$ $\Rightarrow$ $p\in D$. Это (ограниченная) дистрибутивная решетка относительно операций объединения и пересечения. Обратно к конечной дистрибутивной решетке$L$ один присваивает поз $\Pi\!L$его простых чисел . Элемент$p\in L$ простое, если $x\land y=p$ подразумевает $x=p$ или же $y=p$, а простые числа упорядочены по делимости: $p\leqslant q$ если только $p$ разделяет $q$, обозначенный $p|q$ т.е. $\exists x\ q=p\land x$, или, что то же самое, просто $p\land q=q$. Это кажется чрезмерным усложнением, поскольку он меняет порядок, унаследованный от$L$, но это просто вопрос удобства: вы всегда можете переключиться на все виды эквивалентных определений, например, поменять порядок в $P$ или в $L$, заменяя простые числа на простые числа соединения, или переходя к дополнениям неудачных сделок, которые являются апдейлами , или и тем, и другим, и т. д. и т. д.
Двойственность говорит о двух вещах. Во-первых, каждый$L$ можно отождествить с решеткой свертков его простых чисел, т. е. с элементом $x\in L$ однозначно определяется своими простыми делителями, $D_x:=\{p\in\Pi\!L\mid\exists y\ x=p\land y\}$; другими словами, каждый$x$- встреча его простых делителей. Более того, каждая неудача$D$ из $\Pi\!L$ является $D_x$ для уникального $x\in L$, а именно для $x=\bigwedge D$.
Во-вторых, двойственность говорит о том, что каждый позет $P$ можно отождествить с множеством простых чисел $\mathscr D\!P$. А именно,$p\in P$ отождествляется с $\not\uparrow\!\!p:=\{q\in P\mid p\not\leqslant q\}$ и каждое простое число $\mathscr D\!P$ является $\not\uparrow p$ для уникального $p\in P$. более того$p\leqslant q$ если только $\not\uparrow\!\!p\subseteq\not\uparrow\!\!q$.
Теперь для конечного чугуна $P$, его понижательные цены находятся во взаимно однозначном соответствии с его антицепями: $D$ один назначает антицепь $\max\!D$ его максимальных элементов и антицепи $\alpha\subseteq P$ неудачный $\downarrow\!\alpha$ элементов ниже $\alpha$, $\{p\mid\exists\ q\in\alpha\ p\leqslant q\}$.
Мой вопрос: можно ли абстрактно, алгебраически, не обращаясь к этой двойственности, охарактеризовать элементы конечной дистрибутивной решетки? $L$которые соответствуют максимальным антицепям его двойственного чугуна?
Более подробно (надеюсь, я не сделал никаких ошибок при переводе): существует ли чисто алгебраическая характеристика, без упоминания простых чисел, тех $a\in L$ со свойством, что для любого простого $p\notin D_a$ есть прайм $p'\in\max D_a$ с участием $p'|p$?
Для ответа на этот вдохновляющий вопрос нам на самом деле нужно только рассмотреть свободные конечные дистрибутивные решетки, что означает рассмотрение только множеств$P$которые являются полными степенями некоторого конечного множества, упорядоченными по включению. Похоже, что мало что известно о мощности множества всех максимальных антицепей в powerset. Согласно OEIS , последовательность этих запусков как$1,2,3,7,29,376,31764,...$
Вопрос Map о классе всех конечных положений, исходящих из антицепей максимального размера, кажется очень тесно связанным, но он касается антицепей максимально возможного размера, в то время как мой касается всех максимальных антицепей, то есть антицепей, не содержащихся ни в одной другой антицепи. Понятно, что такие антицепи могут иметь разные размеры в целом, в частности в powerset. Например, как двухэлементная антицепь$\{\{1\},\{2\}\}$ и одноэлементная антицепь $\{\{1,2\}\}$ максимальные антицепи в наборе степеней $\{1,2\}$.
Ответы
Это описание (вики сообщества) возможного ответа, а не сам ответ. Приглашаем всех попробовать превратить это в настоящий ответ. Или (очевидно) откажитесь от этого и напишите действительно настоящий ответ.
Ричард Стэнли объясняет в комментарии, что максимальные антицепи $A$ из $P$ находятся во взаимно однозначном соответствии с максимальными булевыми интервалами $\mathscr D\!P$.
В общем, учитывая $D'\subseteq D$ с участием $D,D'\in\mathscr D\!P$, легко видеть, что интервал $[D',D]$ решетка изоморфна $\mathscr D(D\setminus D')$, где $D\setminus D'$ это подмножество $P$с индуцированным частичным порядком. Так$[D',D]$ является логическим тогда и только тогда, когда $D\setminus D'$ это антицепь.
И наоборот, любая антицепь $A\subseteq P$ порождает такой логический интервал, с $D=\downarrow\!A$ а также $D'=D\setminus A$. И (понятно?) Максимальным антицепям соответствуют максимальные булевы интервалы.
Теперь есть конструкция, которую я впервые увидел в исполнении Гарольда Симмонса. Для элемента$a$ в любой полной алгебре Гейтинга пусть $$ \tau a=\bigwedge\{b\geqslant a\mid b\to a=a\}. $$ потом $[a,\tau a]$ - наибольший логический интервал с дном $a$.
Ясно, что в полной когейтинговой алгебре существует двойственно определенный оператор $\delta$ такой, что $[\delta b,b]$ это самый большой логический интервал с вершиной $b$.
Пример. В решетке замкнутых множеств топологического пространства$\delta$- производная Кантора-Бендиксона. То есть для закрытого набора$C$, $\delta C$ - множество его предельных точек.
Итак, если мы находимся в полной алгебре бигейтинга, доступны оба оператора и интервал $[a,b]$ является максимальным логическим значением тогда и только тогда, когда $a=\delta b$ а также $b=\tau a$.
Это, по-видимому, означает, что оба элемента $a$ удовлетворение $\delta\tau a=a$ и элементы $b$ удовлетворение $\tau\delta b=b$должно как-то соответствовать максимальным антицепям. В частности, в случае, когда наша алгебра$\mathscr D\!P$ для некоторой позиции $P$, тогда $\tau\delta D=D$ для $D\in\mathscr D\!P$ должно означать, что $\max D$ - максимальная антицепь, а $\delta\tau D=D$ должно означать, что $\min(P\setminus D)$ - максимальная антицепь.