Можно ли записать метрику пространства как счетное несвязное объединение компактов?

Question

Позволять $ (X,d)$ - метрическое пространство и пусть $\mu $ быть радоном $\sigma$-конечная мера на борелевской $\sigma$-алгебра. Я читал, что можно найти счетные непересекающиеся компакты$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$ и $\mu$-null set $N$ такой, что $$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$

Я пытался добиться каких-то результатов, используя внутреннюю регулярность $\mu$, но ничего. Верно ли это утверждение? Как я могу это доказать?

Answer 1

Ключевое предположение здесь заключается в том, что $\mu$является мерой Радона, т. е. внутренне регулярной по отношению к компактам . Без этого предположения это неверно, даже если$\mu$ конечно (например, существуют метрические пространства, поддерживающие непрерывные меры, в которых все компакты конечны).

Написать $X=\bigcup_n X_n$, где каждый $X_n$не пересекаются по Борелю и конечной меры. Затем рекурсивно выберите компактный$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$ такой, что $\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$. потом$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$ имеет значение null, и поэтому $X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$ равно нулю, и $K_{n,m}$ явно не пересекаются.