Мы переворачиваем символ неравенства при делении или умножении на переменную выражения?
Переворачиваем ли мы символ неравенства при делении или умножении на переменную выражения так же, как при умножении на отрицательное число или делении на него?
В настоящее время у меня возникла некоторая путаница в понимании логарифмического неравенства.
Есть одно неравенство, почему я ошибся.
$$ \log\left(\frac{2x-1}{x-2}\right) / \log2 < 0$$
Чтобы это было по-настоящему, я знаю, что $(2x-1)/(x-2) > 0,$ и поэтому мы должны иметь возможность отменить (умножить обе стороны) переменную выражения $(x-2).$ Без изменения символа с $>$ к $<$ однако после умножения я получил результат $x > 1/2$ вместо правильного ответа $x < 1/2.$
Я также знаю что $(2x-1)/x-2 < 2^0,$ и поэтому мы также должны иметь возможность отменить переменную выражения $(x-2).$ Без изменения символа с $<$ к $>$ однако после умножения я получил результат $x < -1$ вместо правильного ответа $x > -1.$
После объединения обоих случаев в числовую строку правильный ответ: $-1 < x < 1/2,$
но я получил $x < -1, x > 1/2,$ Кроме $x=2,$ который проверяется как неверный.
Я не уверен, что отсутствие переключения символов является источником моей ошибки, поэтому я спрашиваю.
Поскольку этот процесс включает в себя умножение или деление переменных выражения, я также считаю, что мой метод не подходит из-за возможности посторонних решений, и, возможно, вместо этого следует нарисовать и заполнить таблицу проб + ошибок.
Заранее благодарю вас за ваше время и ответы.
Ответы
У нас есть $\frac{2x-1}{x-2}>0$. Умножение на$(x-2)^2$ с обеих сторон у нас есть
$$(2x-1)(x-2) > 0$$
и, следовательно $x < \frac12$ или же $x > 2$.
Ваша ошибка в том, что вы предполагаете, что $x-2>0$ должно быть правдой.
Мы также знаем, что $$\frac{2x-1}{x-2}<1$$
Если $x>2$, то имеем $2x-1 < x-2$, что эквивалентно $x < -1$ что противоречит $x>2$.
Если $x < \frac12$, то имеем $2x-1 > x-2$ и, следовательно $x > -1$.
Вывод такой $-1 < x < \frac12$.