Найдите сумму ряда $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} $ [дубликат]

Question

Найдите сумму ряда $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} $

$My \ attempt :$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!} \\ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!} \\ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!} $$ Но я не знаю, приведет ли это меня куда-нибудь.

Answer 1

поскольку

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$$

Мы можем различать, чтобы получить

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=e^x\implies \sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n}}{n!}=xe^x$$

снова дифференцируя, мы получаем, что

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2x^{n-1}}{n!}=xe^x+e^x=(1+x)e^x$$

подключение $x=1$мы получаем это

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}=2e$$

Answer 2

$$S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)+n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n=1)!} \right)$$ $$=\sum_{p=-1}^{\infty} \frac{1}{p!}+\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!}=e+e=2e$$ Обратите внимание, что $(-1)!=\infty$.