Направление центростремительной силы при вертикальном круговом движении при равномерной гравитации
Рассмотрим вертикальное круговое движение точечной массы, соединенной с центром жесткой струной. Здесь равномерная гравитация$m\vec{g}$ действует.
Я проиллюстрировал ситуацию на диаграмме ниже.
Здесь, если мы сделаем векторное сложение $\vec{T}$ и $m\vec{g}$тогда мы получаем центростремительную силу странного направления. Он ведь должен быть направлен к центру?
Далее я разложу гравитацию на радиальную и тангенциальную составляющие. Смотри ниже.
Так что же с этим происходит $mg \sin \theta$составная часть? Разве это не мешает движению быть круговым?
- Примечание: если я пытаюсь направить результирующую силу к центру, я должен намеренно изменить направление натяжения, и это кажется мне очень странным, поскольку мы рассматриваем объект, ограниченный веревкой. Итак, если мы сохраним его «естественным» (напряжение к центру), можем ли мы действительно сказать, что объект совершает круговое движение?
- Другой вопрос: я понимаю, что в данной ситуации, как $mg \cos \theta$изменяет величину радиальной силы, и, следовательно, скорость объекта должна изменяться. Мы думаем об этом как о локальном круговом движении, когда скорость$\vec{v}(t_1)$ в определенное время $t=t_1$, центростремительная сила $\frac{m|\vec{v}(t_1)|^2}{r} \hat{r}$ действует только на бесконечно малом интервале времени $[t, t + dt]$?
- Обобщая два вопроса, приведенных выше, мы можем рассмотреть, когда объект находится вверху или внизу. Тогда нам не нужно думать о компонентах сил, поскольку все они лежат на одной вертикальной линии. Можем ли мы тогда утверждать, что это локально круговое движение в течение короткого промежутка времени?$[t, t + dt]$?
Ответы
При круговом движении не всегда $F_\text{net}=mv^2/r$. Это действительно только для равномерного кругового движения. В общем$mv^2/r$равна составляющей чистой силы, которая указывает на центр круга. Следует учитывать еще один компонент: компонент, касающийся круговой траектории.
Для плоского движения в полярных координатах мы разбиваем чистую силу на две составляющие: центростремительную (или радиальную) и тангенциальную:
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=m\left(\ddot r-r\dot\theta^2\right)\,\hat r+m\left(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\right)\,\hat\theta$$
где $r$ расстояние от начала координат, $\theta$- полярный угол, точка - скорость изменения во времени. Для кругового движения$r$ постоянна, поэтому для кругового движения второй закон Ньютона сводится к
$$\mathbf F_\text{net}=m\mathbf a=-mr\dot\theta^2\,\hat r+mr\ddot\theta\,\hat\theta$$
Итак, для вашего объекта, движущегося по вертикальному кругу с центром в исходной точке в постоянном гравитационном поле, мы можем посмотреть на два компонента (обратите внимание, что отрицательная величина направлена в сторону начала координат). $$F_r=-mg\cos\theta-T=-mr\dot\theta^2=-\frac{mv^2}{r}$$ $$F_\theta=mg\sin\theta=mr\ddot\theta$$
$F_r$изменяет только направление скорости, так как эта составляющая силы всегда перпендикулярна скорости, и$F_\theta$изменяет только величину скорости, так как эта составляющая силы всегда параллельна / антипараллельна скорости.
Величина чистой силы тогда определяется выражением $$F_\text{net}=\sqrt{F_r^2+F_\theta^2}=mr\sqrt{\dot\theta^4+\ddot\theta^2}$$
Что сводится к $mv^2/r$ для равномерного кругового движения ($\ddot\theta=0$, и $\dot\theta=v/r=\text{constant}$).
Вышесказанное должно облегчить ваше беспокойство по поводу того, что мы рассматриваем только локальное круговое движение. Это просто круговое движение. Нет необходимости вносить ненужные осложнения.
$mg\sin\theta$не влияет на центростремительную силу, это тангенциальное ускорение, которое передается массе m. Это вызывает уменьшение скорости массы при подъеме и увеличение при спуске. Это не случай равномерного кругового движения. Из-за этой сложности мы обычно используем теорему об энергии работы для решения вопросов, связанных с этой подтемой. Кроме того, центростремительная сила не является векторным сложением силы тяжести и натяжения, это сумма сил, направленных к центру круга. Итак, Центростремительная сила равна напряжению +$mg\sin\theta$ который $mv^2/R$.