Нелинейное интегрируемое дифференциальное уравнение

Aug 19 2020

Я пытаюсь решить вопрос из учебника по математике для физиков, который так и не был сделан из-за пандемии, поэтому я не знаю ответа или правильного метода его решения. Тем не менее вот вопрос и моя попытка его решить. Мы будем очень благодарны за обратную связь, предложения о том, как подойти к этому, и рекомендации для дальнейшего чтения.

Пусть уравнение движения будет: $$m\ddot{x}(t) + V'(x(t))= 0\tag1$$ и, $$E = \frac{m}{2}\left(\dot{x}(t)\right)^2 + V(x(t))\tag2$$ где $V(x)$ - известный выводимый потенциал и $E$ не зависит от $t$.

  1. Путем интегрирования уравнения, дающего $\dot{x}$, Выразим решение с начальным условием $x(t_0)=x_0$ в виде t (x).

Из уравнения $(1)$ $$\dot{x}^2 = \frac{E-V}{m/2} \implies \pm\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx = t+Cste$$
Взяв положительный корень и из начального условия мы знаем $Cste=-t_0$

$$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E-V}}dx+t_0$$ 2. Пусть возрастающий потенциал на бесконечности равен: $$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$ где $C>0$ и $a>0$. Рассмотрим частицу начальной скорости$v_0>0$. Дайте асимптотику$x(t)$ когда $E>0$ и $E=0$.
Я попытался заменить выражение$V(x)$ на бесконечности в интеграле: $$t(x)=\int_\left(x_0\right)^x\sqrt{\frac{m/2}{E+\frac{C}{x^\left(2a\right)}}}dx+t_0$$ Я пытался преобразовать его в виде $\arcsin(x)+c=\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ заменой, но мне стало очевидно, что это невозможно, возможно, мне не разрешено напрямую заменять выражение $V(x)$на бесконечности.
Я также думаю, что есть способ обойти этот вопрос без необходимости вычислять интеграл, но я не могу его найти. Надеюсь, кто-нибудь сможет мне помочь.

Ответы

1 Suna Aug 23 2020 at 21:34

Я считаю, что вы правильно ответили на первый вопрос, однако проблема со вторым вопросом возникает из-за того, что вы пытаетесь получить антипроизводную, что, на мой взгляд, очень сложно. Вот мой подход:
предположим, что x близок к бесконечности, тогда у нас есть$$V(x\rightarrow\infty)= \frac{-C}{x^\left(2a\right)}$$
Заменим это в уравнении $(1)$ и интегрируем его: $$\ddot{x}(t)=\frac{2aC}{m}x^\left(-2a-1\right)\\\implies\frac{x^\left(2a+3\right)}{2a(2a+2)(2a+3)}=\frac{C}{m}(t^2+C_1)$$ так что у нас есть: $$x(t)=\frac{2aC}{m}(t^2+C_1)(2a+2)(2a+3)$$ также, $$\dot{x}(t)=\frac{4aC(2a+2)(2a+3)}{m}t $$ позволять $D=a(2a+2)(2a+3)$, $$\dot{x}(t)=\frac{4DaC}{m}t $$ заменив это в уравнении $(2)$ так как мы хотим представить $E$ в решении для изучения асимптотики:
$$E = \frac{(4DaC)^2}{m^2}t^2 - \frac{C}{x^\left(2a\right)}\\ \implies x = \frac{1}{\sqrt[2a]{\frac{16C(Da)^2}{m^2}t^2-\frac{E}{C}}}$$
Вот график$y = \frac{1}{\sqrt[2a]{x^2-Z}}$ (где $a$ и $Z$являются константами), чтобы дать вам лучшее представление. Поиграйте с ползунками, чтобы увидеть поведение функции.
Из графика видно, что если$E=0$ частица в позиции $x_1$ начинает приближаться $x=0$, который мы можем рассматривать как источник потенциала, ему требуется бесконечное количество времени, чтобы достичь этого уровня (для большинства практических целей мы можем рассматривать его как остановленный). И если$E>0$ происходит то же самое, но зазор увеличивается, что означает, что частица асимптотически останавливается, прежде чем достигнет начала координат.