Непрерывная биекция $f: X \to Y$ из компактного пространства $X$ в хаусдорфово пространство $Y$

Aug 20 2020

Предположим $X$ компактное пространство и $Y$ Хаусдорф таков, что $f: X \to Y$является непрерывной биекцией. Что из следующего верно?

(Я) $f$ открыт.

(II) $f$ является локальным гомеоморфизмом.

(III) $f^{-1}$ непрерывно.

Некоторые наблюдения и вопросы:

  1. $Y$ компактен, поскольку непрерывный образ компакта всегда компактен.

  2. поскольку $f$ непрерывен, прообраз каждого открытого множества в $Y$ это открытый набор в $X$. Но можем ли мы быть уверены, что каждое открытое$X$ отображается на открытый набор в $Y$ по $f$? Почему или почему нет?

  3. Локальный гомеоморфизм - новый термин для меня. Википедия говорит, что$f$ является локальным гомеоморфизмом, если каждая точка $X$ имеет окрестность (открытое множество, содержащее точку), гомеоморфное открытому подмножеству $Y$. Я не уверен, если$f$локально гомеоморфен или нет. Есть идеи?

  4. За $f^{-1}$ чтобы быть непрерывным, нам нужно, чтобы прообраз каждого открытого множества в $X$ это открытый набор в $Y$ под $f^{-1}$. Связано ли это как-то с тем,$f$это открытая карта? Думаю, да. Если$f$ открыто, каждый открытый набор в $X$ отображается на открытый набор в $Y$. И с тех пор$f$ является непрерывным, прообраз (изображение под $f^{-1}$) каждого открытого множества в $Y$ это открытый набор в $X$. Таким образом, если$f$ открыто, открытое наступает $X$ и $Y$ будет в биекции, и обязательно $f^{-1}$будет непрерывным. Поэтому я думаю, что если (I) верно, то (III) сразу следует. Это верно?

Ответы

1 HennoBrandsma Aug 20 2020 at 05:26

Я правда как $f$закрыто, как я показал здесь , вкратце:$C \subseteq X$ закрыто, подразумевает $C$ компактный, поэтому $f[C]$ компактное и компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто, поэтому $f[C]$ закрыто.

И биекция подчиняется $f[X\setminus O]=Y\setminus f[O]$ так когда $O \subseteq X$ открыт, $ X\setminus O$ закрыто, поэтому его изображение закрыто и поэтому $f[O]= Y\setminus f[X\setminus O]$ открыт в $Y$.

Так $f$ открытая (и замкнутая) непрерывная биекция, а значит, гомеоморфизм (если $g: Y \to X$ обратное отображение, $g^{-1}[O]=f[O]$ открыт в $Y$ для всех открытых $O$ в $X$. Значит, III тоже.

II тогда тривиально, потому что мы можем для каждого $x \in X$ взять $X$ быть окрестностью, гомеоморфной $Y$ (который тривиально является окрестностью $f(x)$). Гомеоморфизм - это тривиальный локальный гомеоморфизм.

Таким образом, все прямо вытекает из того факта, что мы уже имеем, даже без взаимно однозначности, а просто непрерывности: $f$ это замкнутая карта.