Неразложимые интегральные представления группы порядка 2 «вручную»
Этот вопрос является копией того вопроса MO 2010 года .
Меня интересует классификация классов изоморфизма $n$-мерные интегральные представления циклической группы $C_2$ порядка $2$. Ясно, что любое интегральное представление$C_2$представляет собой прямую сумму неразложимых интегральных представлений.
Хорошо известен следующий результат:
Теорема. Группа$C_2$ имеет ровно 3 класса изоморфизма неразложимых интегральных представлений:
(1) тривиально;
(2) знаковое изображение;
(3) двумерное представление с матрицей $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\right).$
Такой результат был изложен в ответе Виктора Процака . См. Также ответ Тодда Лисона .
В своем комментарии Виктор Процак дает ссылку. Он пишет: «Кертис и Райнер, глава 11. Это частный случай теоремы из раздела 74, которая классифицирует интегральные представления циклических групп простого порядка. Естественно, этот случай намного проще и может быть выполнен вручную».
Вопрос. Как доказать приведенную выше теорему «вручную», не обращаясь к книге Кертиса и Райнера?
Мотивация: сейчас занимаюсь алгебраической$\mathbb R$-tori. Они классифицируются по интегральным представлениям группы Галуа${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$, которая представляет собой группу порядка $2$. Чтобы понять известную классификацию неразложимых$\mathbb R$-tori, мне нужно понять известную классификацию неразложимых интегральных представлений ${\rm Gal}({\mathbb C}/{\mathbb R})$.
Я задал этот, казалось бы, элементарный вопрос на сайте Mathematics StackExchange , но не получил ни ответов, ни комментариев, поэтому задаю его здесь.
Ответы
В книге «Вычисления с вещественными торами» Кассельман хорошо изложил эту теорему не только с точки зрения доказательства того, что это единственные неразложимые торы, но и, предположим, что вам дано явное интегральное представление$\operatorname C_2$, явно находя / вычисляя его разложение на эти три представления.
На самом деле, если вы (обычный читатель, не обязательно @MikhailBorovoi) не знакомы с недавними работами Билла Кассельмана, стоит заглянуть на его страницу. http://www.math.ubc.ca/~cass; какое-то время он был очень заинтересован в выполнении реальных вычислений в смысле вещей, которые можно передать в компьютер, относящихся к алгебраическим группам. Выше приведен один пример; другие можно найти наhttp://www.math.ubc.ca/~cass/research/publications.html, включая, например, вычисление структурных констант в соответствии с Жаком Титсом - вещи, которые, как мы все знаем, могут быть выполнены, но которые большинство из нас (по крайней мере, я!) уклоняются от фактического выполнения , здесь изложено так, чтобы осуществить это практически.
(Есть еще кое-что по математической графике !)