Ограничение многочлена суммой с определенными свойствами
Определять $f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$ к $f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$.
Вопрос: Существуют ли непрерывные функции$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$, удовлетворяющий
- $g(x,y)=0$ если и только если $xy=1$.
- $h(x,y)=0$ если и только если $x=y$.
- $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$.
Комментарий: Мотивация исходит из того случая, когда$x,y$ интерпретируются как особые значения $2 \times 2$матрица. потом$f(x,y)$ расстояние матрицы от $\operatorname{SO}(2)$. $g$ и $h$ интерпретируются как меры отклонения матрицы от сохранения площади и конформности соответственно.
Ответы
Позволять $z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$. потом$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$.
Теперь установите $G(z) = z^2 - 2i$. потом$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$.
Вычислить $\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$ и поэтому $$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$ если и только если $\Re z + \Im z \ge 0$, что, конечно, верно, если $x \ge 0, \, y \ge 0$.
Поэтому теперь у вас есть для $x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$ и вы можете прочитать $g$ и $h$.