Операторные следы в квантовании Концевича
При квантовании изучаются отображения функций на фазовом пространстве в операторы, действующие в гильбертовом пространстве. Исправим одну такую карту и назовем ее$Q$.
Квантование деформации основано на идее, что $Q$ можно изучить косвенно, снабдив линейное векторное пространство функций над фазовым пространством некоммутативным звездным произведением:
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Концевич дает явную формулу для звездного произведения, которая может быть применена к любому компактному фазовому пространству, и дает ассоциативную алгебру с правильным поведением в$\hbar \rightarrow 0$предел. Поэтому часто утверждают, что формула Концевича решает давнюю проблему доказательства того, что любое компактное симплектическое многообразие допускает квантование.
Однако другой важный компонент квантовой механики - это след оператора. Следы необходимы для физического предсказания, т. Е. Ожидаемые значения наблюдаемых - это следы соответствующих операторов, умноженные на матрицу плотности.
Формула Концевича не дает мне карту квантования, только звездное произведение. Итак, как мне вычислить$\text{tr} Q(f)$ только зная $f$?
Один из возможных ответов, который я вижу, заключается в том, что классическая формула верна: $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
Вот $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ - форма объема, связанная с симплектической формой $\omega$, а интеграл по фазовому пространству.
Но я никогда не слышал, чтобы кто-то окончательно сказал, что на самом деле этот интеграл фазового пространства является аналогом следа оператора при квантовании деформации, и я не могу придумать веского аргумента, чтобы показать, что $\mathcal{O}(\hbar)$ исправления не появляются.
Мои вопросы:
- Делать $\mathcal{O}(\hbar)$ вообще появляются поправки к интегралу по фазовому пространству?
- Если да, есть ли явная формула для следа?
- Если нет, как мне убедить себя в этом?
Ответы
Википедия сообщает, что следующие свойства однозначно определяют операцию трассировки (с точностью до скалярных кратных):
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
Для любых линейных $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ удовлетворит все три свойства. $\int f d\Omega $очевидно удовлетворяет (1) и (2). Для (3) мы хотим показать, что$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $. Легко показать, что$O(1)$ и $O(\hbar)$ условия исчезают для достаточно хороших $f,g$(с использованием интегрирования по частям и эквивалентности смешанных частных). Однако я недостаточно хорошо понимаю графы Концевича, чтобы с уверенностью распространить этот аргумент на более высокие порядки в$\hbar$. Если вы найдете ссылку или объяснение, дайте мне знать. Предполагая, что аргумент расширяется, мы находим, что$\mathrm{tr} Q(f)$ и $\int f d\Omega $ эквивалентны с точностью до скалярного кратного.
Ожидаемые значения выражаются $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$, поэтому мы можем нормализовать нашу операцию трассировки так, чтобы $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$Этого должно быть достаточно, чтобы однозначно определить всю физику. Вы можете определить в$O(\hbar)$ в исходной интегральной формуле, но как только вы нормализуете свою матрицу плотности, это не имеет никакого физического эффекта.