Определите сходимость ряда.
Вот серия: $$ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{n + \sqrt{n + \sqrt{n}}}}{(n + (n + n^2)^2)^2}$$ Метод, который я использую для определения этой серии, - это сравнительный тест, заключающийся в построении следующей последовательности: $$ a_n = \frac{\sqrt{3n}}{n^8}$$Что образует сходящийся ряд, где каждый член больше, чем члены в приведенном выше ряду, поэтому я определил, что ряд выше сходится. Однако я не знаю, прав я или нет. Поэтому, если я ошибаюсь, скажите мне, как это сделать правильно, или, если я прав, подтвердите со мной или предоставьте мне альтернативный метод определения сходимости приведенных выше рядов для обсуждения. Благодарю.
Ответы
Честно говоря, если нет явной инструкции по использованию какого-либо теста, я предпочитаю думать об этих типах серий в терминах теста сравнения пределов (LCT) , а не теста сравнения (CT).
Обычное выражение LCT выглядит примерно так: Предположим, что $\{ a_n \}$ и $\{ b_n\}$ последовательности с $a_n \ge 0$, $b_n > 0$ для всех $n$. Если$\lim_{n\to +\infty} a_n/b_n$ существует и отлична от нуля, то $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся вместе или расходятся вместе.
LCT меньше заботится о направлении неравенства (в отличие от CT, где вам нужно проверять определенные неравенства, которые могут раздражать), и больше об асимптотике, что делает его намного более мощным. Что касается поиска подходящего$b_n$использовать как точку сравнения? Обычная идея состоит в том, чтобы смотреть на наиболее доминирующие члены (т. Е. На те, которые раздуваются до бесконечности быстрее всех) в числителе и знаменателе.
В вашем примере доминирующий член в числителе $\sqrt{n}$, а доминирующий член в знаменателе $n^8$. Это говорит о том, что мы используем$b_n = \sqrt{n}/n^8 = n^{-15/2}$, что действительно хорошо работает здесь. Мы получаем$\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = 1$, и мы знаем $\sum b_n$ сходится $p$-тестовое задание. Таким образом, оригинальная серия тоже.
Этот метод имеет собственное название Тест прямого сравнения и утверждает следующее:
Если серия $\sum b_n$ сходится и $0 \leqslant a_n \leqslant b_n$ для достаточно большого $ N \in \mathbb{N}, n> N$, тогда $\sum a_n$ также сходится.
Держит $\sum a_n \leqslant \sum b_n$ если сравнение $\forall n \in \mathbb{N}$.
Если $\sum a_n$ расходится, то $\sum b_n$ расходится.
В книге: Мюррей Х. Проттер, Чарльз Б. Младший Морри - Промежуточное исчисление-Спрингер (2012) - стр. 105, теорема 9.
Ваше решение в порядке, но вы чувствуете себя немного небезопасно, позвольте мне показать, почему тест работает: серия $\sum_{k= 1}^\infty a_k$, по определению, представляют собой предел последовательности его частичных сумм $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$, для $s_n:=\sum_{k=1}^na_k$.
Когда каждый $a_k$ положительна, то последовательность $\{s_n\}_{n\in \mathbb N}$представляет собой последовательность положительных действительных чисел, которая строго возрастает, и поэтому можно показать, что она сходится тогда и только тогда, когда она ограничена .
Если $a_k:=\sqrt{k+\sqrt{k+\sqrt{k}}}/(k+(k+k^2)^2)^2$ тогда легко увидеть, что $0\leqslant a_k\leqslant k^{-2}$ для каждого $k\in \mathbb N $, и так
$$ 0\leqslant s_n\leqslant \sum_{k=1}^n k^{-2}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ and }\quad \sum_{k=1}^n k^{-2}\leqslant \sum_{k=1}^\infty k^{-2}=\frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N \\ \text{ therefore }\quad 0\leqslant s_n\leqslant \frac{\pi ^2}{6}\quad \text{ for each }n\in \mathbb N $$
$\Box$