Основной спектр кольца: почему геометрия захватывается локальными кольцами?

Question

Если функция $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ непрерывно, $f$локально обратима во всех отличных от нуля точках. То есть по всем пунктам$x_0$ такой, что $f(x_0) \neq 0$, существует открытая окрестность $U$ из $x_0$ и функция $g: U \rightarrow \mathbb R$, так что для всех $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$.

Верно ли обратное? Является ли непрерывной функция, локально обратимая во всех отличных от нуля точках?

Вроде нет. Рассмотрим функцию$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $

Это имеет обратную функцию $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $

даже не смотря на $f$везде прерывный. Итак, ясно, что это локально обратимое определение очень далеко от того, чтобы дать нам непрерывные функции.

Я сейчас немотивирован по поводу спектра кольца. Именно это свойство "локальной инверсии", как я думал, мотивирует определение структурного пучка на спектре кольца. В$\operatorname{Spec}(A)$, кольцо функций вокруг точки (простого числа) $\mathfrak p$ является $A_\mathfrak p$. Таким образом, все функции (элементы кольца), которые не равны нулю в$\mathfrak p$ будет вынужден стать обратимым путем локализации.

Но это определение не кажется достаточно сильным, чтобы на самом деле уловить то, что мы хотим - оно допускает множество патологических колец функций, по которым мы не можем восстановить структуру исходного пространства. Известное мне доказательство, которое восстанавливает исходное пространство с учетом кольца функций, требует непрерывных функций для применения леммы Урхисона [это можно найти в Атии Макдональде, глава 1, упражнение 26).

Что мне не хватает?

Answer 1

Это факт, что (действительная или комплекснозначная) непрерывная, или непрерывно дифференцируемая, или гладкая, или аналитическая и т. Д. Функция, которая нигде не обращается в нуль, имеет мультипликативную обратную функцию в той же категории. Более того, по непрерывности функция может обращаться в нуль только на замкнутом множестве. Следовательно, пучок таких функций на топологическом пространстве обладает тем свойством, что его слои являются локальными кольцами. Для неприводимых алгебраических многообразий, определенных классическим образом, мы имеем рациональные функции, пучок регулярных функций обладает тем же свойством. Для необязательно неприводимых алгебраических многообразий мы не можем в действительности говорить о рациональных функциях, но более тщательный анализ пучка регулярных функций на неприводимых аффинных алгебраических многообразиях показывает, что в первую очередь необязательно использовать рациональные функции, и именно так мы переходим к определению структурного пучка общей аффинной схемы. То, что стебли представляют собой локальные кольца, в некотором смысле случайно.

Позволять $k$ - алгебраически замкнутое поле и пусть $X$ быть подмножеством $k^n$. Для целей этого ответа обычная функция на$X$ это функция $f : X \to k$ для которых существуют многочлены $p$ и $q$ над $k$ такой, что $q (x) \ne 0$ для всех $x \in X$ и $f (x) = p (x) / q (x)$ для всех $x \in X$. Позволять$\mathscr{O} (X)$ - множество регулярных функций на $X$. Потом:

Если $X$ является неприводимым замкнутым подмножеством $k^n$, то присвоение $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, где $U$ варьируется по открытым подмножествам $X$, определяет подпучок $\mathscr{O}_X$ связки $k$-значные функции на $X$.

На самом деле здесь нужно проверить утверждение, а именно, что регулярность функций - это локальное свойство, но я оставляю это вам. Требуется приведенное выше определение$X$ быть встроенным в $k^n$, но в этом нет необходимости. В первую очередь:

Если $X$ является замкнутым подмножеством $k^n$ и $f : X \to k$ - регулярная функция, то существует многочлен $p$ над $k$ такой, что $f (x) = p (x)$ для всех $x \in X$.

В более общем смысле:

Позволять $X$ быть замкнутым подмножеством $k^n$, позволять $q$ быть полиномом над $k$, и разреши $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$. Если$f : U \to k$ - регулярная функция, то существует натуральное число $m$ и многочлен $p$ над $k$ такой, что $f (x) = p (x) / q (x)^m$ для всех $x \in X$.

Более того, если $U$ плотно в $X$, то единственный гомоморфизм $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ отправка $x_1, \ldots, x_n$ к соответствующим координатным функциям $U \to k$ и $u$ к обычной функции на $U$ определяется $1 / q$ есть ядро $(I (X) + (q u - 1))$, где $I (X)$ является идеалом многочленов, исчезающих на $X$.

Действительно, поскольку $f : U \to k$ - регулярная функция, существуют многочлены $p_1$ и $q_1$ такой, что $q_1 (x) \ne 0$ для всех $x \in U$ и $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ для всех $x \in U$. По Nullstellensatz,$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; в частности, существует положительное целое число$m$ и $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ и $s \in I (X)$ такой, что $q_1 r + s = q^m$. Следовательно,$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ для всех $x \in U$, поэтому мы можем взять $p = p_1 r$.

Учитывая общий элемент $k [x_1, \ldots, x_n, u]$, сказать $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, где $p_0, \ldots, p_m$ являются многочленами от $x_1, \ldots, x_n$ над $k$, у нас есть $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ для всех $x \in U$ если и только если $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ для всех $x \in U$. поскольку$U$ плотно в $X$, второе уравнение действительно выполняется для всех $x \in X$, так $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ и, следовательно, $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$как требуется. ■

Результатом всего этого является то, что если $X$ является неприводимым замкнутым подмножеством $k^n$, то связка $\mathscr{O}_X$ можно реконструировать из кольца $\mathscr{O} (X)$ вместе с биекцией между максимальными идеалами $\mathscr{O} (X)$ и точки $X$: приведенное выше показывает, что для главного открытого подмножества $U \subseteq X$, т.е. $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ для некоторых $f \in \mathscr{O} (X)$, кольцо $\mathscr{O} (U)$ это локализация $\mathscr{O} (X)$ относительно мультипликативного множества $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$. Легко проверить, что карты ограничений очевидны. Поскольку главные открытые подмножества$X$ составляют основу топологии $X$, это определяет пучок $\mathscr{O}_X$. По модулю введения немаксимальных простых идеалов именно так строится структурный пучок для общей аффинной схемы.