Ожидаемое время остановки броуновского движения, прорывающегося из канала [a, -b]

Question

Позволять $W(t)$стандартное броуновское движение. Позволять$\tau$ будь первым, когда $W(t)$ попадает на любой уровень "$a$"или уровень"$-b$". Каков самый простой способ вычислить$\mathbb{E}[\tau]$?

Я могу показать вероятность того, что $W(t)$ уровень хитов "$a$" до "$-b$"и наоборот, но я не могу легко вычислить ожидаемое время остановки $\tau$.

Чтобы показать вероятность того, что $W(t)$ хиты "$a$" до "$b$", Я полагаю $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$, так что по теореме Дуба об необязательной остановке $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$(т.е. остановленный процесс - это мартингейл). Потом:

$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$

По определению $\tau$у нас есть это $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$, так что:

$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$

Решение для $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ дает: $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$

Вопрос 1 : как я мог легко показать это$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$, чтобы я мог убедиться, что действительно могу использовать необязательную теорему Дуба об остановке?

Вопрос 2 : как я могу вычислить$\mathbb{E}[\tau]$ самым простым способом?

Answer 1

Вы, наверное, знаете (а если нет, можете легко проверить), что процесс $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ это мартингал.

Теперь рассмотрим, для $n \in \mathbb{N}$, (ограниченное) время остановки $$T_{n}=T \wedge n$$

Примените теорему о необязательной остановке к $T_{n}$ отмечая, что $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ и $T_{n} \le n$

Воспользуйтесь теоремой о монотонной сходимости, чтобы получить $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$

Теперь используйте преобладающую сходимость, чтобы сделать вывод $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$

который вы уже знаете.

Это дает вам $E[T]$.