Пакет линий на схеме продукта
Позволять $k$ быть полем, $X$ быть полным разнообразием $k$, $V$ быть открытым подмногообразием $X$, $Y$ быть схемой $k$. Предположим$L$ это линейный пакет на $V\times Y$. Если$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ распространяется на линейный пакет на $X\times\lbrace y\rbrace$ за каждую закрытую точку $y$ из $Y$, делает ли линейный пакет $L$ распространяется на $X\times Y$?
Что, если предположить более сильное условие, а именно для любого функтора $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ (Вот $\operatorname{Pic}$ обозначает функторы Пикара) линейное расслоение $\phi(L)$ на $V$ распространяется на $X$. Делает$L$ распространяется на $X\times Y$?
Редактировать: $X$ предполагается гладким, т.е. гладким полным многообразием.
Ответы
Приветствуем нового участника. Это неправда, даже если$X$гладко. Один пример меняет роль$X$ и $Y$ в моем предыдущем примере.
Позволять $X$ - гладкая геометрически связная проективная кривая рода $g>0$. Позволять$f:X\to Y$ - нормализация узловой кривой с одним узлом $p$ это $k$-рациональная точка. Например,$Y$ может быть квартикой узловой плоскости, и $X$ может быть нормализацией (род $3$кривая). Предположим, что прообраз$\{p\}$ в $X$ разделен, т. е. $\{r',r''\}$ за $k$-рациональные точки $r',r''$ из $X$.
Позволять $V$ быть открытым дополнением $\{r',r''\}$ в $X$. Обозначим морфизм графа ограничения$f$ к $V$ следующим образом, $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ Образ этого морфизма графа является простым дивизором Картье в $V\times Y$. Обозначим через$L$ обратимая связка на $V\times Y$ связанный с этим делителем Картье.
Откат этого делителя Картье к $V\times X$ продолжается до дивизора Картье на $X\times X$. Каждое такое расширение имеет вид$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$
Для каждого из этих расширенных дивизоров Картье ограничения на $X\times \{r'\}$ и более $X\times \{r''\}$рационально не эквивалентны. Действительно, если бы они были, то$\underline{r'}$ и $\underline{r''}$ был бы рационально эквивалентен, так что род $g$ равно $0$. (Это была моя причина работать с гладкими кривыми положительного рода.) Поскольку$X\times X$является гладким, гомоморфизм группы классов рациональной эквивалентности дивизоров Картье в группу Пикара является изоморфизмом. Таким образом, каждый обратимый пучок на$X\times X$ что расширяет откат $L$ имеет неизоморфные ограничения на $X\times\{r'\}$ и более $X\times\{r''\}$. Поэтому каждый расширенный обратимый пучок на$X\times X$это не изоморфно откат обратимого пучка на$X\times Y$.
Редактировать . В приведенном выше примере для каждой обложки Зариски$Y'\to Y$, верен тот же результат. Однако есть эталонная обложка.$Y'\to Y$ такой, что обратимый пучок продолжается до $X\times Y'$. В качестве примера, когда нет такого расширения даже после эталонной обложки, вместо того, чтобы позволить$X\to Y$- нормализация узловой кривой, пусть - нормализация возвратной кривой. Тогда та же конструкция дает обратимый пучок$L$ на $V\times Y$ такое, что для каждой этальной обложки $Y'\to Y$, обратимого пучка на $X\times Y'$.