Почему $8^{\frac{1}{3}}$ является $1$, $\frac{2\pi}{3}$, а также $\frac{4\pi}{3}$

Aug 15 2020

Вопрос в том:

Используйте теорему ДеМуавра, чтобы найти $8^{\frac{1}{3}}$. Выразите свой ответ в сложной форме.

Выбери один:

а. 2

б. 2, 2 цис (2$\pi$/ 3), 2 цис (4$\pi$/ 3)

c. 2, 2 цис ($\pi$/ 3)

d. 2 цис ($\pi$/ 3), 2 цис ($\pi$/ 3)

е. Ни один из этих


я думаю что $8^{\frac{1}{3}}$ является $(8+i0)^{\frac{1}{3}}$

А также, $r = 8$

А также, $8\cos \theta = 8$ а также $\theta = 0$.

Так, $8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$

Я только что получил $2$. Где и как другие$\frac{2\pi}{3}$, а также $\frac{4\pi}{3}$ родом из?

Ответы

5 sai-kartik Aug 15 2020 at 12:57

Мы могли бы посмотреть на это так:
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$ Теперь для разных значений $k$, у нас разные ответы: (здесь $n$ является $3$) $$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$

Вы можете прочитать $n^{\text{th}}$корни единства в Википедии, чтобы лучше понять

3 MichaelRozenberg Aug 15 2020 at 14:08

Позволять $z^3=8$.

Таким образом, $$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$ который дает $$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$ или же $$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$

2 VenkatAmith Aug 15 2020 at 12:59

Здесь, $$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$

Таким образом, для $k=1$,$k=2$ мы получили $\frac{2\pi}{3}$ а также $\frac{4\pi}{3}$

Или возьмите: $$8^{1/3}=x$$ Тогда получаем,

$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

Тогда получаем желаемые корни.

1 AlbusDumbledore Aug 15 2020 at 13:03

$8^{\frac{1}{3}}$знак равно$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$

здесь $\omega$ кубический корень из единицы