Почему ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, когда $\cal U$ это $\delta$-полный тонкий ультрафильтр на $\cal P_\kappa(\alpha)$?

Question

Следующее рассуждение появляется в доказательстве теоремы 4.7. в статье Багарии-Магидора Групповые радикалы и сильно компактные кардиналы .

Позволять $\delta<\kappa$ быть несчетными кардиналами, которые могут быть единственными, и пусть $\alpha$ быть порядковым таким, что $\alpha\geq\kappa$. Предположим, что существует$\delta$-полный штраф $\mathcal{U}$ на $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, это $\delta$-полный ультрафильтр $\mathcal{U}$ на $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ такой, что $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ для каждого $a\in\alpha$. Позволять$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$- соответствующее сверхстепенное вложение. поскольку$\mathcal{U}$ является $\delta$-полный, тогда $Ult(V,\mathcal{U})$обоснованно. Кроме того, также$\delta$-полнота, критическая точка $j_{\mathcal{U}}$ Больше или равно $\delta$. Теперь мой вопрос:

Почему $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?

Заранее спасибо.

(Я бы добавил тег ultrapowers, если бы он существовал, но его нет, и у меня нет репутации для его создания).

Answer 1

Помни это $j_{\mathcal U}(\kappa)$ является (образ при транзитивном коллапсе) классом эквивалентности в сверхстепени постоянной функции $c$ со значением $\kappa$. Итак, по теореме Лоса необходимо доказать, что$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ за $\mathcal U$-почти все $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. То есть,$|a|<\kappa$ почти для всех $a$. Но на самом деле это неравенство верно для всех$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, по определению $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.