Понимание утверждения и доказательства теоремы Бертини у Гриффитса и Харриса

Question

Мне сложно понять утверждение и доказательство теоремы Бертини в книге Гриффитса и Харриса (стр.$137$). Честно говоря, я не понимаю ни слова даже после того, как прочитал несколько ответов в стопке. Теорема

Общий элемент линейной системы сглаживается от базового геометрического места системы.

Первый вопрос . Относится ли приведенное выше утверждение к линейным пучкам общих линий, а не только к линейным пучкам, связанным с делителями?

Насколько я могу сказать, это относится к линейной системе линейного пучка, связанной с делителем. Скажите, если я ошибаюсь.

Второй вопрос . Что такое общий элемент? Или какой обычный карандаш?

В доказательстве авторы начинают со слов: « Если общий элемент линейной системы сингулярен вдали от базового множества системы, то то же самое будет верно для общего пучка, содержащегося в системе; таким образом, достаточно доказать Бертини для карандаш ".

Третий вопрос . Что именно означает вышеприведенное предложение?

Теперь предположим $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ карандаш

Четвертый вопрос . Почему авторы пишут$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Что$f,g$ значит здесь?

Последний вопрос касается степени разнообразия (с.$171$).

Бертини применил к гладкому локусу $V$ общий $(n-k)$-самолет $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ пересечется $V$ поперек и так встретится $V$ точно $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ точки.

Последний вопрос . Что такое общий$(n-k)$-самолет? В таком случае, почему он пересекается$V$ поперечно?

Answer 1

1. В вашей настройке (сложное многообразие) все линейные пучки происходят от делителей и наоборот.

2. Общий элемент линейной системы означает, что в $\mathbb P^r$ параметризуя члены этой линейной системы, мы рассматриваем некоторое плотное открытое подмножество $\mathbb P^r$. Общие элементы - это те, которые параметризованы точкой в ​​этом плотном отверстии. Пучок общего положения, аналогично параметризуемый точкой в ​​плотном открытии грассманиана$G(2,r+1)$ из $2$-мерные подпространства $H^0(L)$ (где $L$ - линейный пучок).

3. Предложение гласит, что любое «плохое» поведение будет происходить в карандаше, поэтому нам не нужно беспокоиться о многомерных линейных системах.

4. Они имеют в виду $f,g \in H^0(L)$, поэтому взяв линейные комбинации $f$ и $g$ дает карандаш.

5. Общая плоскость параметризуется плотным открытым подмножеством подходящего грассманиана. Трансверсальность возникает потому, что трансверсальность - открытое состояние.