позволять $\mathbf a$ и $\mathbf b$быть трехмерными векторами. Найди $3\times3$ матрица $\mathbf R$ такой, что $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

Aug 15 2020

Привет, как говорится в названии, я пытаюсь найти это.

позволять $\mathbf a$ и $\mathbf b$быть трехмерными векторами. Найди$3\times3$ матрица $\mathbf R$ такой, что $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.

согласно моим упражнениям ответ

$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$

Мне не удалось найти это решение, и мне удалось добраться до

$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$ и я могу заменить $ a_{||b} $ для его выражения в виде матричного произведения $$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$ и это внешний продукт, поэтому он становится $$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$

из этого я могу получить $$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$ Это насколько я смог добраться, и я не уверен, что нужно делать, чтобы последнее уравнение стало первым.

Спасибо за любую информацию, которую может предоставить любой.

Ответы

1 AndrewShedlock Aug 16 2020 at 01:39

Последние несколько шагов будут $$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$ Заметить, что $b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$. Так$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$ Следовательно $$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$