Практически большие группы малого ранга (связанные с 3-многообразиями)
Я ищу причину, по которой 3-многообразная группа $G$ это практически $\mathbb{Z}\times F$, $F$будучи либо нециклической свободной, либо поверхностной группой, не допускает представления на двух образующих.
Это фундаментальные группы замкнутых трехмерных многообразий с $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ геометрии (спасибо @HJRW за указание на то, что вышеприведенный зачеркнутый случай соответствует непустой границе), и оказывается, что все другие геометрии допускают примеры с фундаментальной группой ранга два, с заметной изюминкой евклидовой геометрии, где все фундаментальные группы фактически $\mathbb{Z}^3$(и ранжируйте два примера, являющиеся многообразиями Фибоначчи). Таким образом, группы 3-многообразий допускают примеры групп практически высокого ранга, которые, тем не менее, сами по себе имеют небольшой ранг. Конечно, хорошо известно, что свободная группа на двух образующих имеет практически сколь угодно высокий ранг.
Однако согласно Буало и Цишангу , теорема 1.1, ранг$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ многообразий зависит от рода базовой поверхности и числа особых слоев расслоения Зейферта (и составляет не менее 3), поэтому практически $\mathbb{Z}\times F$ заставляет группу быть по крайней мере одного ранга.
В чем причина того, что эта подгруппа ограничивает ранг объемлющей группы снизу и, скажем, свободных групп или абелевых свободных групп? $\mathbb{Z}^3$не? Я был бы счастлив, если бы здесь была задействована геометрическая трехмерная причина, но также был бы благодарен за обновление моей общей теории групп.
Ответы
Вопрос возникает из-за неправильной интерпретации теоремы 1.1 в статье Буало и Цишанга. Теорема 1.1 исключает изрядное количество случаев, в частности, она не применяется к (полностью ориентированным) замкнутым многообразиям Зейферта с 3 особыми слоями и базой рода 0. Некоторые из этих исключенных многообразий Зейферта являются контрпримерами к вашему утверждению о ранге.$\ge 3$.
Например, возьмем внешний вид $N$ из $(p,q)$- нетривиальный торический узел, а не трилистник. Род этого узла$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(потому что я исключил трилистник, имеющий род 1). Коллектор$N$ - поверхностное расслоение над окружностью, слой которого $F$ поверхность рода $g$. Монодромия этого расслоения есть конечный порядок (на самом деле порядок равен$pq$) гомеоморфизм $h: F\to F$. Таким образом, если мы схлопаем границу$F$ к точке, мы получаем замкнутую поверхность $S$ рода $g$ а также $h$ будет проецировать гомеоморфизм конечного порядка $f: S\to S$. Отображающий тор$M=M_f$ является многообразием Зейферта типа ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ полученное заполнением Дена границы $N$. База расслоения Зейферта будет иметь три особые точки и род 0: два особых слоя происходят из$N$ и один происходит от полнотория, прикрепленного к $\partial N$в результате нашей заправки Дена. (Это общий факт, что отображающий тор гомеоморфизма конечного порядка гиперболической поверхности является многообразием Зейферта типа${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Поскольку группа $\pi_1(N)$ 2-порождена, фактор-группа $\pi_1(M)$ также 2-порожден.