Проблемы с пониманием утверждений с использованием семантических последствий, несмотря на знание определения
Я знаю, что семантическое следствие означает, что все утверждения слева могут быть истинными (выполнимыми), если правая часть истинна. Если правая часть ложна, то все утверждения слева не могут быть правдой.
Есть несколько утверждений, которые меня беспокоят.
Первый: $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Если я начну с левой части iff, все утверждения будут иметь смысл.
Проблема в том, что я начинаю с правой стороны iff и $\Gamma$ правда, $\phi$ ложно, и $\psi$правда. Это законное заявление, но оно доказывает ошибочность всего утверждения.
Секунда: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$может быть правдой, несмотря на то, что левая сторона ложна. Я думал, что это невозможно.
Третий:
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Если $\Delta$ не подлежит утверждению и $\phi$ верно, если часть истинна, а затем часть неверна.
Конечно, я что-то неправильно понимаю, если продолжаю сталкиваться с этой проблемой.
Ответы
Я знаю, что семантическое следствие означает, что все утверждения слева могут быть истинными (выполнимыми), если правая часть истинна.
Нет, это не значит. Это как раз наоборот: правая часть истинна, если все утверждения левой стороны истинны. Да, определение семантического следствия состоит в том, что при любой данной интерпретации либо RHS истинно, либо хотя бы одно утверждение на LHS ложно. Не требуется, чтобы LHS было истинным, если RHS истинно!
Возможно, это легче увидеть с негатива: единственное, чего не должно происходить, - это чтобы все утверждения на LHS были истинными, а RHS - ложными. Если, согласно некоторой интерпретации, RHS верен, а LHS нет, это нормально. Это, в частности, означает, что если LHS никогда не может имитировать истинность (= неудовлетворительно), тогда не может быть такой встречной интерпретации, и следствие остается пустым.
(Также см. Примечание о (не) выполнимости в последнем абзаце; ваше использование здесь предполагает неправильное понимание того, что это означает.)
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Если я начну с левой части iff, все утверждения будут иметь смысл.
Проблема в том, что я начинаю с правой стороны iff и $\Gamma$ правда, $\phi$ ложно, и $\psi$правда. Это законное заявление, но оно доказывает ошибочность всего утверждения.
Вы неправильно понимаете структуру заявления. Вы смотрите на одно конкретное присвоение значений истинности и пытаетесь разобрать на основе этой интерпретации, сохраняются ли семантические последствия слева и справа. Но это не то, о чем говорится: утверждение переводится как
[При всех толкованиях, любое из утверждений в $\Gamma, \phi$ ложно или $\psi$верно]
iff
[При всех интерпретациях любое из утверждений в$\Gamma$ ложно или $\phi \to \psi$ правда].
То есть нам сначала нужно посмотреть на все интерпретации, чтобы определить, верны ли семантические последствия, а затем оценить «если и только если». Рассмотрим только один случай, когда$\Gamma$ правда, $\phi$ ложь и $\psi$ Значение true не позволяет нам сделать вывод о том, выполняется ли какая-либо из сторон «iff».
Секунда: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$может быть правдой, несмотря на то, что левая сторона ложна. Я думал, что это невозможно.
См. Выше: все наоборот; требуется только, чтобы RHS не мог быть ложным, несмотря на то, что LHS истинен. И этого никогда не будет, если LHS не может стать истинным ни при какой интерпретации, в первую очередь, что имеет место для$\bot$, поэтому следствие остается пустым.
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Если $\Delta$ не подлежит утверждению и $\phi$ верно, если часть истинна, а затем часть неверна.
Вы можете прекратить читать после "Если $\Delta$ неудовлетворительно »: тогда ни одно из LHS никогда не может стать истинным, поэтому оба следствия остаются бессмысленными, и« если, то »удовлетворяется.
И просто для уточнения терминологии: "$\Delta$ "удовлетворительно / неудовлетворительно" означает, что все его утверждения могут / невозможно одновременно стать истинными при любой интерпретации, то есть $\Delta$не противоречиво / противоречиво. Если при одной конкретной интерпретации все / не все утверждения в$\Delta$ верны, то мы не говорим, что $\Delta$выполнимо / неудовлетворительно, но верно / неверно. То же самое и с отдельными формулами:$\phi$ является истинным / ложным в конкретной интерпретации и выполнимым / неудовлетворительным, если существует по крайней мере одна / нет интерпретации, при которой оно истинно.
Модель $\Gamma$ в котором $\phi$ ложно ничего не говорит о заявлении $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$: это утверждение просто говорит, что$\psi$ верно в каждой модели $\Gamma$ и $\phi$, что действительно так, если $\phi\to\psi$ верно в каждой модели $\Gamma$.