Проверить дифференцируемость на $x=0$

Aug 19 2020

Итак, я работаю над формулировкой проблемы

Найдите неопределенный интеграл от $\exp(-|x|)$ относительно $x$.

Я дал ответ ниже, но в конце у меня есть несколько вопросов. Думаю, будет проще, если я сначала покажу свою работу (или перейдите к последнему абзацу, чтобы сразу перейти к моему вопросу).

Мой ответ \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}

я добавил $2$ в правую часть графика, поскольку при $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}

Я добавил график для визуализации разрывов, которые необходимо удалить. Строго говоря, я на этом не закончил, потому что мне еще нужно показать, что антипроизводная дифференцируема в начале координат. Поэтому я попытался использовать определение производной, т.е.

\ begin {уравнение *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ to x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {уравнение *}

но я не совсем уверен, правильно ли это:

Левый предел

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}

Правый предел

\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}

из этого похоже, что добавление $2$действительно ли это повлияло на доказательство дифференцируемости? Мне также не нравится, что я использую Правило L'hopital в доказательстве предела, но на самом деле у меня не было другого способа продолжить, так что это лучшее, что я мог придумать в этой ситуации.

Ответы

2 Arthur Aug 19 2020 at 12:30

Добавление $2$очень помогает при расчете лимитов. Это сильно влияет на левый предел. Посмотрите на числитель$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ Здесь слева $F$ использует $C_1$ и право $F$ использует $C_2$, поэтому этот числитель не подходит $0$ вообще, если вы не добавите $2$.

Что касается того, как избежать l'Hopital, это зависит от того, как вы определяете $\exp$. Во всяком случае, вы можете заметить, что ваш левый предел фактически равен левой производной от$e^x$ в $x=0$(просто вставьте это в определение производной и вы увидите то же самое). Аналогично, правый предел равен правой производной от$-e^{-x}$ в $x=0$. Итак, если вы уже знаете, что это за две производные, все готово.

1 JoséCarlosSantos Aug 19 2020 at 12:26

Если вы не добавите это $2$, ваша функция даже не будет непрерывной в $0$, и поэтому он не будет дифференцируемым в этот момент. Если вы не поставите это$0$, левая производная при $0$ будет$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$

1 YvesDaoust Aug 19 2020 at 12:42

Слева первообразная

$$e^{x}+C_-$$ и справа

$$-e^{-x}+C_+.$$

Непрерывность должна быть обеспечена в месте встречи (потому что это первородный продукт), и $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ требуется для.


Теперь о позитиве $h$

$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ и $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$так что, если предел в правой части существует, производная существует. И он, безусловно, существует, так как является правой производной отрицательной экспоненты.

1 mathcounterexamples.net Aug 19 2020 at 12:24

$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ является непрерывной картой, так как это композиция непрерывной карты.

Следовательно, вам не нужно проверять, существует ли производная его неопределенного интеграла. Он существует по основной теореме исчисления.

Равенство

$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ то, что вы написали, не имеет смысла.

Неопределенный интеграл равен единице, он не отличается слева и справа от нуля.

Вы можете написать

$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$

А затем разделите случаи $x<0$ и $x \ge 0$.