Путаница в определении очков накопления
Я пытался немного узнать об ограничениях последовательностей и точках накопления, чтобы лучше понять работу вычислений, и я запутался в определениях пределов, предельных точек и точек накопления последовательностей и наборов.
Мой первый вопрос - это предел последовательности, такой же, как и точка накопления, и такой же, как и предельная точка, которую я смотрел в Интернете, и все это очень расплывчато. Мое второе замешательство заключается в том, что предел последовательности такой же, как предел набора, если нет какого-либо доказательства или интуитивного объяснения, почему бы и нет ?.
Я знаю, что это, вероятно, очень простая и, вероятно, тривиальная концепция для всех вас здесь, но меня это сильно смутило. заранее спасибо
Ответы
Предельная точка - это то же самое, что и точка накопления, и ее определение таково:
Точка $x$ предельная точка множества $A$ если для каждого района $S$ из $x$ Существует $y \in S$ такой, что $y \in A$, $y \neq x$.
Я очень предпочитаю название «точка накопления», потому что здесь вы фактически не ограничиваете ... все наоборот! Чтобы иметь возможность делать ограничения, вам обычно требуются точки накопления, поскольку топологическое определение предела требует взятия окрестностей и вычисления функции там.
По поводу вашего второго вопроса:
Точка $x$точка накопления последовательности $\{x_n\}$ если есть окрестности $S$ из $x$ такова, что индексов бесконечно много $n$ такой, что $x_n \in S$.
По сути, это то же определение, что и выше, но вы берете $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Однако точка является предельной точкой для последовательности, если все индексы после определенного$n$находятся в любом районе. Формально:
Точка $x$ предел последовательности $\{x_n\}$ если есть окрестности $S$ из $x$ такова, что существует $N \in \mathbb{N}$ такой, что $x_n \in S$ для всех $n>N$.
И это сильнее, чем просто точка накопления: вы можете увидеть разницу, рассмотрев последовательность $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Любой район$1$ содержит бесконечно много точек этой последовательности, а именно все $x_{2n}$ после определенного $n$. Аналогично, любая окрестность$-1$ будет содержать все $x_{2n+1}$ после определенного $n$, так что оба $1$ а также $-1$ кластерные точки для $x_n$. Однако ограничений нет (на самом деле ограничения уникальны, если они существуют).
Есть разница между предельной и предельной точкой. Концепция определена для последовательностей и функций, но предельная точка определяется для наборов, как указано в ответе выше. Последовательность может иметь предельную точку, но не иметь предела. Например, пусть$\{a_n\}$ определяется как $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Что $a_n=1+\frac{1}{n} $ для нечетных n и $a_n=-1+\frac{1}{n} $для ужинов. В этой последовательности оба$1$ а также $-1$ являются предельной точкой, но последовательность не сходится и предела нет.