Разложите симметричный многочлен $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ в элементарные симметричные полиномы.
Метод, который я пытаюсь использовать, включает либо (когда не все показатели равны, например $\Sigma{x_1x_2^2}$), многократно извлекая одночлен с максимально возможными равными показателями (так что для примера с неравными показателями выше $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) или вывести показатель за пределы суммирования, когда все показатели равны, как в заголовке вопроса, то есть тот, о котором я спрашиваю, поэтому первый шаг здесь - $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ знак равно $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. Очевидно это$E_3^2$, вместе с членами, которые необходимо вычесть, в зависимости от того, сколько переменных является общим между двумя $E_3$в $E_3^2$: 0, 1 или 2. Если нет ничего общего, вы можете использовать любой из $E_3$для определения выбора 3 из 6 неопределенных, так что этот член $2E_6$. Я думал, что если 1 неопределенное является общим, вы получите выражение, которое необходимо дополнительно разбить, т.е.$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, который будет умножен на $E_2$. Точно так же, если 2 неопределенных являются общими, вы получите выражение, которое необходимо дополнительно разбить, т.е.$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, который будет умножен на $E_1$. Пока что моя попытка решить эту проблему, похоже, ведет к ответу в книге, который$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. Но мой следующий шаг в дальнейшем разложении$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ и $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ привели к гораздо более сложным условиям без отмены, что, как я мог видеть, привело к более простому набору терминов, включающих только $E_1E_5$, $E_2E_4$, и $E_6$ вычесть из $E_3^2$. Также в книгу добавлены$E_1E_5$срок назад, предполагая, что есть последовательность разложений, которые я ошибаюсь, возможно, включая отмену. Кто-нибудь может показать, где я ошибаюсь?
Ответы
Ключ к вашей ошибке в том, что каждый набор $E_6$ не просто появляется дважды, он действительно появляется ${6 \choose 3} = 20$раз. С другой стороны, учитывая$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ на самом деле есть ${4 \choose 2} = 6$ способы настроить одно и то же выражение, а $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$есть только два способа настройки. Кроме того, созданные новые мономы не так просты, как ваши примеры, что легко увидеть, поскольку все выражение должно иметь степень 6.
Чтобы объяснить, учитывая моном $abcdef$ в $E_6$, вы можете создать этот моном через $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$и т.д. Все способы выбора 3 элементов из 6 работают. Данный$abcde^2$ в $E_5E_1$, вы можете создать моном через $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$и т.д. Все способы выбора 2 элементов из 4 работают. Этот точный процесс используется для определения коэффициентов в вычислении ниже.
Поскольку это вычисление очень подвержено ошибкам, я просто сделаю все вычисления от начала до конца, а затем вы можете проверить свои результаты по этим шагам.
Обозначение: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, где $S_n$ альтернативное обозначение элементарных симметрических многочленов и $P_{a,b,c...}$ это сокращение типа Muirhead.
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (Результат 1)
$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (Результат 2)
$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (Результат 3)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (Используя результаты 1 и 2 -> результат 4)
$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (Используя результаты 4 и 3 -> Ответ)
И мы закончили. Все это тщательная работа и вычисления, ничего сумасшедшего.