Разница между последовательными членами возрастающей последовательности, состоящей из натуральных чисел, состоящих из конечного числа простых чисел

Question

Предположим, что $\{x_n\}$ - возрастающая последовательность, элементами которой являются натуральные числа, состоящие из конечного числа простых чисел $p_1, \dots, p_s$. Я хочу проверить следующий лимит$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ Я прочитал результат, который дает нижнюю границу разницы между последовательными членами $\{x_n\}$в литературе. Этот результат означает, что разница между последовательными членами расходится. Однако могу ли я элементарно показать, что указанный выше предел бесконечен?

Answer 1

Этот ответ от Фелипе Волоха на mathoverflow.net актуален:

Да, это правда, что такое уравнение ax + by = c, где a, b, c ненулевые и фиксированные, а x, y могут иметь только простые множители в конечном множестве, имеет только конечное число решений. Это частный случай теоремы Зигеля о целых точках на кривых.

выберите $a=1$ и $b=-1$, так что $x-y=c$ имеет только конечное число решений для любого данного $c$. Следовательно, существует только конечное число пар$x,y$ с участием $|x-y|<M$ для любого данного $M$.

К сожалению, теорема Зигеля отнюдь не элементарна. Подозреваю, что элементарных доказательств нет.