Сколько слов из четырех букв можно составить, если каждую букву можно использовать максимум $2$ раз?

Question

У вас есть пять букв $A, B, C, D$ и $E$. Сколько слов из четырех букв можно составить, если каждую букву можно использовать максимум$2$раз? (в слове появляется буква$0, 1$ или же $2$ раз.)

я пытался $5\cdot4\cdot3\cdot3$ а потом подумал, что позиции можно расположить в $4\cdot3\cdot2\cdot1$. Однако это следует разделить на$2$ потому как $A~A~\_~\_$ и $A~A~\_~\_$те же результаты. Но ответ, который я получил, был неправильным. Правильный ответ по ключу:$540$.

Answer 1

С участием $5$ буквы, вы можете сделать $5^4$ четырехбуквенные слова.

Но среди этих слов

• есть те, у которых одна буква повторяется четыре раза (очевидно, $5$ такие слова);
• и есть слова, в которых буква повторяется трижды. Есть$5 \times 4 \times 4$ такие слова (действительно, вы должны выбрать тройную букву - $5$ возможности, другая буква - $4$ возможности остались, и, наконец, место второй буквы - $4$ возможности).

Итак, общее количество слов, которые вы хотите посчитать, равно $$5^4 - 5 - 5\times 4 \times 4 = 540$$

Answer 2

Возможны три случая.

1. Все буквы различны

Подобно ($A, B, C, D$). Выбор$4$ письма из $5$ и их расположение дает $\displaystyle{5\choose 4}\cdot 4!=120$ способами.

2. Два разных и два одинаковых

(Подобно $A,B,C,C$). Выбор$3$ письма из $5$ и снова выбирая один из тех $3$ буквы как четвертая буква и их расположение: $\displaystyle{5\choose 3}\cdot{3\choose 1}\cdot\frac{4!}{2!}=360$ способами.

3. Только две разные буквы.

(Подобно $A,A,C,C$). Выбор$2$ письма из $5$ буквы и расположение дает $\displaystyle{5\choose 2}\cdot\frac{4!}{2!\cdot2!}=60$ способами.

Добавление всего этого дает нам $540$.