Слабая * сходящаяся vs сильно сходящаяся.
Я прочитал в Крейсциге следующие определения.
$\textbf{Definition:}$ Позволять $X,Y$ нормированные пространства и $T_n:X \rightarrow Y$последовательность линейных ограниченных операторов. Мы говорим что$T_n$ сильно сходится к $T:X\rightarrow Y$ если
$$ \Vert T_n(x)- T(x) \Vert \to 0 , \forall x\in X $$
$\textbf{Definition:}$ Позволять $X$ нормированное пространство и $f_n \in X'$последовательность. Мы говорим что$f_n$ сходится слабо *, если существует $f\in X'$ такой, что
$$ \vert f_n(x) - f(x) \vert \to 0, \forall x\in X $$
В первом случае $T$ может быть неограниченным, если $X$не полный. Положить$Y=\mathbb{R}$ определения почти такие же, за исключением того, что во втором они говорят, что $f$ должно быть непрерывным и во первых нет.
Мое сомнение возникает из-за того, что автор отмечает, что в случае работы с линейными функционалами первое определение совпадает со вторым, но я думаю, что они не совпадают.
См. Стр. 266 из Крейсцига: вводный функциональный анализ с приложениями.
Ответы
Эти два определения не эквивалентны, когда $Y=\mathbb C$ и $X$не полный. Позволять$X$ - пространство тригонометрических полиномов на $[0,2\pi]$ с $L^2$-норм, и пусть $f_n:X\to\mathbb C$ определяется линейным продолжением $$f_n(e^{ikx})=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text{if }|k|\leq n,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{array}\right.$$ Тогда последовательность $\{f_n\}$ в $X^*$ сильно сходится к неограниченному функционалу, следовательно, не может сходиться слабой$^*$ к ограниченному функционалу.