Сохраняют ли гомоморфизмы порядок подгрупп?

Question

Я читал, что единственный возможный гомоморфизм из $\mathbb{Z}_7$ к $\mathbb{Z}_{12}$ тот, который отображает все элементы $\mathbb{Z}_7$ к $\{0\}$. Поскольку если существует еще один гомоморфизм из$\mathbb{Z}_7$ к $\mathbb{Z}_{12}$, он должен иметь возможность отображать любую нетривиальную подгруппу $\mathbb{Z}_7$, в подгруппу $\mathbb{Z}_{12}$. Однако это означает, что$\mathbb{Z}_{12}$ будет иметь подгруппу порядка $7$, что невозможно.

Я предполагаю, что из приведенного выше утверждения подразумевается, что гомоморфизмы сохраняют порядок подгрупп ... но так ли это вообще?

Answer 1

В целом это не так. Позволять$f: \mathbb Z_6 \to \mathbb Z_6$ данный $f(x)=2x$. Карта$f$ очевидно, является гомоморфизмом, но не сохраняет порядок самой группы.

Я думаю, это утверждение означает, что только подгруппы $\mathbb Z_7$ находятся $\{0\}$ а сама группа ядром любого нетривиального гомоморфизма является $\{0\}$поэтому любой нетривиальный гомоморфизм инъективен. Это означает$\mathbb Z_7$ изоморфен образу самого себя, но этого не может произойти, поскольку образ гомоморфизма является подгруппой $\mathbb Z_{12}$ и в этой группе нет подгруппы порядка $7$.