$ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin^2 (kx)}{k}$ а также $ \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\cos^2 (kx)}{k}$

Aug 19 2020


Давайте рассмотрим серию $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\sin^2 (kx)}{k}$ а также $ \sum\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{\cos^2 (kx)}{k}$


Моя попытка:
$\forall t , ~ \cos^2(t) + \sin^2(t) =1$ а также $\sum\limits_{k \ge 1} \dfrac{1}{k} =\infty$.
Поскольку два члена положительны, по крайней мере, один из рядов должен расходиться.
Как доказать, что обе серии расходятся?

Как указано в подсказке, $\cos^2(kx)= 1 + 2 \cos(2kx)$

Ответы

1 MarkViola Aug 18 2020 at 22:33

ПОДСКАЗКА:

Обе серии расходятся. Чтобы показать это, используйте личности

$$\begin{align} \sin^2(x)&=\frac{1-\cos(2x)}{2}\\\\ \cos^2(x)&=\frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align}$$

вместе с тем, что $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2nx)}{n}$ сходится для $x\ne m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$, как гарантируется https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test#Statement.