$\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$
Покажите, что для достаточно малых $y$ у нас есть $\sum_{p,m\geq 3}(-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p = O(y^{-1/3})$ куда $m\geq 3$ представляет все положительные целые числа из $3$ вперед, а $p\geq 3$ представляет все нечетные простые числа.
Я думал о разделении по четности $m$ а остальная часть $p$ мод $4$а затем с помощью теорем о частичном суммировании и простых числах. Однако часть с$m$ даже
$$ \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\sum_{p>2} e^{-p^my}\log p = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\int_0^{\infty}\left[\sum_{2<p\leq t} \log p\right](myt^{m-1}e^{-t^my})dt \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}m\int_0^{\infty}yt^{m}e^{-t^my}dt \\ = \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}\Gamma\bigg(1+\frac{1}{m}\bigg)y^{-\frac{1}{m}} \leq \sum_{\substack{m\geq 4 \\ 2\mid m}}y^{-\frac{1}{m}}$$ а последний, к сожалению, не $O(y^{-1/3})$(когда я вставляю соотношение в Wolfram Alpha, мне становится ясно, что оно расходится). Для нечетных$m$ По крайней мере, приятно, что вы можете исключить некоторые вещи из основных терминов, вытекающих из теоремы о простых числах для арифметических прогрессий, и это могло бы работать нормально.
Идеи как исправить подход? Любая помощь приветствуется!
Ответы
Сумма более $m$первый. С$p^k \geqslant 1 + k(p-1)$ для всех $k \in \mathbb{N}$ по неравенству Бернулли имеем $$\sum_{m = 3}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant \sum_{k = 0}^{\infty} e^{-p^3y - k(p-1)p^3y} = \frac{e^{-p^3y}}{1 - e^{-(p-1)p^3 y}} \tag{1}$$ для всех $y > 0$ и все $p > 1$.
Если мы сохраним $y$ далеко от $0$, знаменатель правой части $(1)$ ограничен от $0$ и мы можем грубо оценить \begin{align} \sum_{p \geqslant 3} e^{-p^3y}\log p &= \int_0^{\infty} e^{-t^3y}\,d\vartheta_3(t) \\ &= \int_0^{\infty} 3t^2y\vartheta_3(t) e^{-t^3y}\,dt \\ &= \int_0^{\infty} y\vartheta_3(\sqrt[3]{u})e^{-uy}\,du \\ &\leqslant 2\int_0^{\infty} y u^{1/3}e^{-uy}\,du \\ &= 2\Gamma \biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3} \end{align} куда $\vartheta_3(t)$ это сумма логарифмов нечетных простых чисел $\leqslant t$ и мы использовали простую оценку $\vartheta_3(t) \leqslant \vartheta(t) \leqslant 2t$ для всех $t > 0$.
Однако мы хотим оценивать вещи на небольшие $y$, поэтому мы не можем сохранить $y$ далеко от $0$. Тем не менее, сказанное выше полезно и для этого. Во-первых, если$p \equiv 3 \pmod{4}$, то имеем знакопеременную сумму и $$\Biggl\lvert \sum_{m = 3}^{\infty} (-1)^m e^{-p^my}\Biggr\rvert \leqslant e^{-p^3y}\,,$$ таким образом, мы имеем оценку, аналогичную $(1)$ со знаменателем, отделенным от $0$ равномерно в $y$. Далее, если [для$p \equiv 1 \pmod{4}$] в левой части $(1)$ мы позволяем сумме начинать с $m = r \geqslant 3$ куда $p^{r+1} > \frac{1}{y}$ мы получаем оценку $$\sum_{m = r}^{\infty} e^{-p^my} \leqslant 2e^{-p^ry} \leqslant 2e^{-p^3y}\,.$$ Тогда мы можем оценить, как указано выше, и получить $$\Biggl\lvert \sum_{(p,m) \in A(y)} (-1)^{m(p-1)/2}e^{-p^my}\log p\Biggr\vert \leqslant 4\Gamma\biggl(\frac{4}{3}\biggr)y^{-1/3}\,,$$ куда $$A(y) = \{(p,m) : p \equiv 3 \pmod{4} \text{ or } p^{m+1}y \geqslant 1\}\,.$$ Осталось показать $$\sum_{\substack{p \equiv 1 \pmod{4} \\ m \geqslant 3 \\ p^{m+1}y < 1}} e^{-p^my}\log p \ll y^{-1/3} \tag{2}$$ за $y < 1/5$, сказать.
Для каждого фиксированного $m$ следует учитывать в том, что у нас есть $$\sum_{p^{m+1} < y^{-1}} e^{-p^my}\log p \leqslant \sum_{p < y^{-1/(m+1)}} \log p \leqslant 2\cdot y^{-1/(m+1)} \leqslant 2y^{-1/4}\,,$$ и $5^{m+1} < y^{-1}$ подразумевает $m+1 < \frac{\lvert \log y\rvert}{\log 5}$, поэтому сумма в левой части $(2)$ не больше чем $$\frac{2}{\log 5}y^{-1/4}\log \frac{1}{y}$$ что по порядку меньше, чем $y^{-1/3}$.