Связанная система 4-х дифференциальных уравнений - Python

Question

У меня на картинке изображена связанная система из 4 дифференциальных уравнений. У меня есть 4 функции (xG; yG; gamma; beta) и их производные. Все они являются функцией одной и той же независимой переменной t.

Я пытаюсь решить это с помощью odeint. Проблема в том, что для этого, я думаю, мне нужно выразить систему таким образом, чтобы каждая вторая производная не зависела от других вторых производных. Это включает в себя математику, которая наверняка приведет меня к какой-то ошибке (я пробовал!).

Вы знаете, как я мог:

1. Решить эту систему дифференциальных уравнений как есть?
2. или заставить python изолировать для меня вторые производные?

Я прикрепляю свой тестовый код

благодаря

import numpy
import math
from numpy import loadtxt
from pylab import figure,  savefig
import matplotlib.pyplot as plt
# Use ODEINT to solve the differential equations defined by the vector field
from scipy.integrate import odeint



def vectorfield(w, t, p):
    """
    Defines the differential equations for the coupled system.

    Arguments:
        w :  vector of the state variables:
                  w = [Xg, Xg1 Yg, Yg1, Gamma, Gamma1, Beta, Beta1]
        t :  time
        p :  vector of the parameters:
                  p = [m, rAG, Ig,lcavo]
    """
#Xg is position ; Xg1 is the first derivative ; Xg2 is the second derivative (the same for the other functions)
        Xg, Xg1,  Yg, Yg1, Gamma, Gamma1, Beta, Beta1 = w
        Xg2=-(Ig*Gamma2*math.cos(Beta))/(rAG*m*(-math.cos(Gamma)*math.sin(Beta)+math.sin(Gamma)*math.cos(Beta)))
        Yg2=-(Ig*Gamma2*math.sin(Beta))/(rAG*m*(-math.cos(Gamma)*math.sin(Beta)+math.sin(Gamma)*math.cos(Beta)))-9.81
        Gamma2=((Beta2*lcavo*math.sin(Beta))+(Beta1**2*lcavo*math.cos(Beta))+(Xg2)-(Gamma1**2*rAG*math.cos(Gamma)))/(rAG*math.sin(Gamma))
        Beta2=((Yg2)+(Gamma2*rAG*math.cos(Gamma))-(Gamma1**2*rAG*math.sin(Gamma))+(Beta1**2*lcavo*math.sin(Beta)))/(lcavo*math.cos(Beta))
        m, rAG, Ig,lcavo, Xg2,  Yg2, Gamma2, Beta2 = p
    
    
    # Create f = (Xg', Xg1' Yg', Yg1', Gamma', Gamma1', Beta', Beta1'):
    f = [Xg1,
         Xg2,
         Yg1, 
         Yg2, 
         Gamma1, 
         Gamma2, 
         Beta1, 
         Beta2]
         
    return f

    


# Parameter values
m=2.722*10**4
rAG=2.622
Ig=3.582*10**5
lcavo=4
# Initial conditions
Xg = 0.0
Xg1 = 0
Yg = 0.0
Yg1 = 0.0
Gamma=-2.52
Gamma1=0
Beta=4.7
Beta1=0

# ODE solver parameters
abserr = 1.0e-8
relerr = 1.0e-6
stoptime = 5.0
numpoints = 250

#create the time values
t = [stoptime * float(i) / (numpoints - 1) for i in range(numpoints)]
Deltat=t[1]
# Pack up the parameters and initial conditions:
p = [m, rAG, Ig,lcavo, Xg2,  Yg2, Gamma2, Beta2]
w0 = [Xg, Xg1,  Yg, Yg1, Gamma, Gamma1, Beta, Beta1]

# Call the ODE solver.
wsol = odeint(vectorfield, w0, t, args=(p,),
              atol=abserr, rtol=relerr)

Answer 1

Вам нужно переписать все производные второго порядка как производные первого порядка и вместе решить 8 ОДУ:

Затем вам нужны начальные условия для всех производных, но, похоже, у вас уже есть. К вашему сведению, ваш код не запускается ( line 71: NameError: name 'Xg2' is not defined), проверьте его.

Кроме того, для получения дополнительной информации см. Численное решение ОДУ 2-го порядка .

РЕДАКТИРОВАТЬ №1: На первом этапе вам нужно разделить систему уравнений. Хотя вы можете решить это вручную, я бы не рекомендовал, поэтому давайте воспользуемся sympyмодулем:

import sympy as sm
from sympy import symbols

# define symbols. I assume all the variables are real-valued, this helps the solver. If not, I believe the result will be the same, but just calculated slower
Ig, gamma, gamma1, gamma2, r, m, beta, beta1, beta2, xg2, yg2, g, l = symbols('I_g, gamma, gamma1, gamma2, r, m, beta, beta1, beta2, xg2, yg2, g, l', real = True)

# define left hand sides as expressions
# 2nd deriv of gamma
g2 = (beta2 * l * sm.sin(beta) + beta1**2 *l *sm.cos(beta) + xg2 - gamma1**2 *r * sm.cos(gamma))/(r*sm.sin(gamma))
# 2nd deriv of beta
b2 = (yg2 + gamma2 * r * sm.cos(gamma) - gamma1**2 *r * sm.sin(gamma) + beta1**2 *l *sm.sin(beta))/(l*sm.cos(beta))
# 2nd deriv of xg
x2 = -Ig*gamma2*sm.cos(beta)/(r*m*(-sm.sin(beta)*sm.cos(gamma) + sm.sin(gamma)*sm.cos(beta)))
# 2nd deriv of yg
y2 = -Ig*gamma2*sm.sin(beta)/(r*m*(-sm.sin(beta)*sm.cos(gamma) + sm.sin(gamma)*sm.cos(beta))) - g

# now let's solve the system of four equations to decouple second order derivs
# gamma2 - g2 means "gamma2 - g2 = 0" to the solver. The g2 contains gamma2 by definition
# one could define these equations the other way, but I prefer this form
result = sm.solve([gamma2-g2,beta2-b2,xg2-x2,yg2-y2],
                  # this line tells the solver what variables we want to solve to
                  [gamma2,beta2,xg2,yg2] )
# print the result
# note that it is long and ugly, but you can copy-paste it as python code
for res in result:
    print(res, result[res])

теперь у нас есть развязанные производные 2-го порядка. Например, выражение для beta2is

поэтому он (и все остальные производные 2-го порядка) имеет вид

обратите внимание, что нет зависимости от xgили yg.

Давайте представим две новые переменные bи k:

тогда

становится

и полная система ODE для решения

Теперь все ОДУ зависят от четырех переменных, которые не являются производными чего-либо. Кроме того, поскольку xgи ygявляются вырожденными, имеется только 6 уравнений вместо 8. Однако можно переписать эти два уравнения таким же образом, как gammaи, betaчтобы получить полную систему из 8 уравнений и интегрировать ее вместе.