Свойства пространства-времени анти-де-ситтера
Я узнал из чтения nLab (https://ncatlab.org/nlab/show/anti+de+Sitter+spacetime), что пространство-время анти-де Ситтера размерности $d$, $AdS_d$, гомеоморфно $\mathbb{R}^{d-1} \times S^1$. Я попытался использовать первое изображение в этой ссылке для вдохновения, но все же мне сложно концептуально понять, почему эти два пространства гомеоморфны. Кто-нибудь может объяснить? Кроме того, каков размер AdS на этом первом изображении?
Ответы
Иногда подробно не обсуждается то, что физики называют пространством анти-де Ситтера, на самом деле не подмногообразие.
$$\sum_{i = 1}^{d-1} (x_i)^2 - (x_d)^ 2 - (x_0)^2 = -R^2$$
из $\mathbb{R}^{d-1,2}$. Взять$d=2$ для конкретности: определяющее уравнение принимает вид
$$x_1^2 - x_2^2 - x_0^2 = -R^2,$$
где $x_0$ и $x_2$- времениподобные координаты. Это однополостный гиперболоид с симметрией вращения вокруг$x_1$ось - пространственноподобная ось; следовательно, его временная координата соответствует движению вокруг гиперболоида и, следовательно, является периодической! Он имеет топологию$\mathbb{R} \times S^1$.
Это не очень разумно с физической точки зрения (или полезно), поэтому это не то, что мы обычно называем пространством-временем анти-де Ситтера, и это не то, что показано на изображении по ссылке. Чтобы получить что-то более реалистичное, мы возьмем универсальное покрытие этого пространства-времени. Вы можете найти определение универсального покрытия, если хотите, но в основном это будет другое пространство-время, которое разделяет локальные метрические свойства, но не глобальную топологию нашего исходного пространства-времени. Говоря менее абстрактно, мы сохраняем ту же метрику и «разворачиваем» гиперболоид, чтобы координата времени больше не была периодической. Это пространство-время имеет топологию$\mathbb{R}^d$, и это то, что показано на картинке.