Треугольник с площадью не более $\frac{7}{12}$.

Question

Предположим, что есть $75$точки внутри единичного куба такие, что никакие три точки не являются коллинеарными. Докажите, что можно выбрать три точки из приведенных выше, которые образуют треугольник с площадью не более$\frac{7}{12}$. Как это возможно получить площадь треугольника из этих данных? Пожалуйста помоги. Заранее спасибо.

Answer 1

Разделите единичный куб на 27 кубиков. $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$.

По принципу "голубятни" один из этих кубиков содержит 3 точки из 75. Из данного условия эти точки не лежат на одной прямой. Так они образуют треугольник

В кубе стороны $a$, максимальная площадь треугольника, который может в него поместиться, составляет $\frac{\sqrt{3}a^2}{2}$.

Для стороны $\frac{1}{3}$, это $\approx 0.0962 < \frac{7}{12}$

Следовательно, эти три точки образуют треугольник площадью меньше, чем $\frac{7}{12}$

Answer 2

Выбрать точки $(0,0,0)$ а также $(1,1,z)$ а также $(1,1,0)$. Площадь этого треугольника равна$\frac{z}{\sqrt 2}$.

Теперь выберите $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$

Есть бесконечное количество способов разместить оставшиеся 72 точки, поэтому должны существовать способы сделать так, чтобы никакие 3 точки не были коллинеарными.

Остальные точки могут, например, лежать в плоскости $z=\frac{7\cdot \sqrt 2}{12}$ и образуют круглую форму.