Учитывая положительный $x,y$ такой, что $x > y$ и $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $найти минимум $(x+y)$

Question

Мне даны положительные числа $x, y$ такой, что $x > y$ и $\sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) = x+y $. Мне нужно найти минимальное значение$(x+y)$. Вот моя попытка. Используя неравенство AM-GM для неотрицательных чисел, у меня есть

$$ \frac{(x+y)}{2} \geqslant \sqrt{x} \sqrt{y} $$

$$ \sqrt{x} \sqrt{y}(x-y) \geqslant 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \\ \therefore (x-y) \geqslant 2 $$

Итак, я смог прийти к такому выводу. Но я застрял здесь. Любая помощь ?

благодаря

Answer 1

Автор: AM-GM $$(x+y)^2=xy(x-y)^2=\frac{1}{4}\cdot4xy(x-y)^2\leq\frac{1}{4}\left(\frac{4xy+(x-y)^2}{2}\right)^2=\frac{(x+y)^4}{16},$$ который дает $$x+y\geq4.$$ Равенство имеет место при $(x-y)\sqrt{xy}=x+y$ и $4xy=(x-y)^2,$ который дает $$(x,y)=(2+\sqrt2,2-\sqrt2),$$ что говорит о том, что мы получили минимальное значение.

Answer 2

положить $x=r^2{cos}^2a$ и $y=r^2{sin}^2a$ также позвольте $a$ принадлежать $[0,\frac{\pi}{2}]$

таким образом, мы должны найти максимальное значение $r^2$

вставляя значения в данное уравнение и упрощая с помощью основных тригонометрических формул, мы имеем $r^4(cosa)(sina)(cos2a)=r^2$ или же

$ r^2=\frac{4}{sin(4a)} \ge 4$

Answer 3

Подсказка: положите $x=\alpha \cosh^2(x)$ и $y=\alpha\sinh^2(x)$ условие становится:

$$\alpha=\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}$$

Выражение:

$$x+y=\Big(\tanh(x)+\frac{1}{\tanh(x)}\Big)\frac{1+\tanh^2(x)}{1-\tanh^2(x)}$$

Решив это, мы нашли $x+y\geq 4$.

Answer 4

Подсказка.

Изготовление

$$ \cases{ u = x+y\\ v = x-y } $$

у нас есть

$$ \sqrt{u^2-v^2}=2\frac uv $$

так

$$ u^2 = \frac{v^4}{v^2-4} $$

и т.п.

Answer 5

Дано $\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y$

позволять $yx=c$ , где $c>0$.

$$\sqrt{c}\left(x^{2}-c\right)=x^{2}+c$$ $$x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -[1]$$

Пусть функция $$F(x,c)=x^{2}-\frac{\left(c+1+2\sqrt{c}\right)}{\left(c-1\right)}c$$быть определенным. потом$$\frac{\partial F(x,c)}{\partial c}=0$$ при постоянном $x$ дает нам $c \approx 2.618 \implies x \approx 3.33 $ ( с помощью $[1]$). Так,$$x+\frac{c}{x}\geqslant 4$$ $$min(x+y)=4$$

когда $x=2+\sqrt{2} \text{ and } y=2-\sqrt2$ как указано.