Вероятность выбора покерной руки
Я пытаюсь решить вероятностную задачу о пятикарточной покерной руке. У меня есть доступ к ответу, который отличается от того, что я придумал. Вопрос в том:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?
Я ответил на этот вопрос так: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Что значит:
- Сначала выберите номер карты, затем выберите две ее масти, т.е. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Это будут две карты одного достоинства.
- Выберите три другие карты, которые не дублируются: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.
Правильный ответ не совпадает с моим. Этот ответ содержится в книге AOPS и выглядит так:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.
Итак, вопрос в том, что я делаю не так? благодаря
Ответы
По правилу продукта после первого выбранного номера карты и двух мастей нам нужно выбрать$3$ карты с $3$ разные значения, что $\binom{12}{3}$ а затем для каждого из них мы можем выбрать одну из четырех мастей, $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. По вашему методу выбор$\binom{48}{1}$ а два других последующих неверны, потому что вы их переоцениваете (например, $3,5,8$ будет отличаться от $5,3,8$). Поэтому, по-вашему, нужно разделить на$3!=6$.
решение вашей книги правильное. Давайте объясним правильный мозговой штурм.
Чтобы получить ровно одну пару на 5 дро, у вас есть:
13 вариантов выбора пары {AA, 22,33, ...}
для каждой пары у вас есть $\binom{4}{2}$ выбор масти: червы, бубны, трефы или пики
на оставшиеся 3 розыгрыша у вас есть $\binom{12}{3}$ выбор разных карт
для каждого предварительного выбора у вас есть $4^3$ варианты масти: червы, бубны, трефы или пики
умножьте все полученные ранее очки.
$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$
Предположим, вы выбрали руку $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Ваш метод считает эту руку$3! = 6$ раз, в зависимости от порядка, в котором вы выбираете три синглтона.
Порядок, в котором выбираются три синглтона, не имеет значения, поэтому правильный ответ выбирает три ранга, из которых берется одна карта, а затем выбирает по одной карте из каждого из этих рангов.
Заметьте, что $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$
Количество возможных случаев: $ c_p = \binom{52}{5} $.
Количество благоприятных случаев:
Выберите первый набор карт: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
Обратите внимание, что первый бином используется для выбора номера карты, а второй - для выбора двух символов из четырех.
Выберите три разных набора карт: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ Обратите внимание, что первый бином используется для выбора трех карт, а второй - для выбора только одного символа для каждой из трех карт.
Результат: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$
В вашем решении последние три бинома могут предоставить набор из трех идентичных карт, потому что вы просто выбираете карты, а не символы.
Вы и книга считаете по-разному, как выбрать три оставшиеся карты. Ваш ответ:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ Книжный ответ: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ Они отличаются $3!$Фактор, который представляет собой точное количество перестановок трех различных объектов. Это говорит о том, что вы обдумываете порядок трех оставшихся карт.