Временная эволюция функции Вигнера
Функция Вигнера определяется как: $$W(x,p,t)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int dy \rho(x+y/2, x-y/2, t)e^{-ipy/\hbar}\tag{1}$$ где $\rho(x, y, t)=\langle x|\hat{\rho}|y\rangle$. Я должен найти временную эволюцию функции Вигнера для гармонического осциллятора, исходя из уравнения эволюции фон Неймана, задаваемого следующим образом:$$i\hbar\frac{\partial \rho}{\partial t}=\left[H,\rho\right].\tag{2}$$Я не уверен, с чего начать, потому что уравнение эволюции фон Неймана включает коммутатор гамильтониана и интересующий оператор. Однако функция Вигнера - это функция, как я могу оценить коммутатор?
Ответы
Исходя из уравнения фон Неймана: $$i\hbar\partial \hat{\rho} / \partial t=[\hat{H}, \hat{\rho}]$$ Теперь возьмем преобразование Вейля с обеих сторон и отметим, что частная производная коммутирует с преобразованием, а коммутатор отображается в скобку Мойала: $$i\hbar\partial \tilde{\rho} / \partial t=-2i\tilde{H} sin(\hbar \Lambda/2) \tilde{\rho}$$ где тильда означает преобразование Вейля оператора и $\Lambda = \frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}$Где первая частная производная действует слева, а вторая - справа. Теперь можно показать, что преобразование Вейля гамильтониана гармонического осциллятора справедливо$\tilde{H}=p^2/2m+m\omega^2x^2$ Теперь, расширяя синусоидальную функцию в ряд Тейлора, мы получаем: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$ Теперь отдельно выразим первый член суммы и получим: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-2i\left((p^2/2m + m\omega^2 x^2)\left(\left(\frac{\hbar}{2}\right)\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
Теперь применив первый член суммы, мы получим: $$i\hbar\partial \tilde{\rho}=-i\hbar\left((p/m\frac{\partial}{\partial x} - 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}+\tilde{H}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\left(\frac{\hbar}{2}\right)^{2n+1}\left(\frac{\partial}{\partial p}\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial p}\right)^{2n+1}\right)\tilde{\rho}\right)$$
Член слева и первые два члена справа вне суммы в точности напоминают уравнение Лиовилля. Поскольку гамильтониан гармонического осциллятора квадратичен по$x$ и $p$ и не имеет терминов более высокого порядка, члены более высокого порядка исчезают, оставляя нас с:
$$\partial \tilde{\rho}+(p/m\frac{\partial}{\partial x} + 2 m\omega^2 x\frac{\partial}{\partial p})\tilde{\rho}=0$$