все $A_i$ связные множества такие, что $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ тогда $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ подключен [дубликат]

Question

Это моё доказательство

---

Предположим, что нет. Потом,$\cup A_i$ имеет открытую перегородку $\{U,V\}$

$U \subseteq \cup A_i$ поэтому нам нужно показать только два случая:

1. $U \subseteq \cup A_j$ с участием $U \neq \cup A_j$ для некоторых $J \subseteq E$. Тогда существует некая$A_k$ такой, что $U \neq A_k$ с участием $U \cap A_k \neq \emptyset$. Таким образом$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ открытый раздел $A_k$. По предположению,$A_k$подключен. Это противоречие с [$\cup A_i$ отключен]

2. $U= \cup A_t$ для некоторых $T \subseteq E$. поскольку$V \neq \emptyset$, есть некоторые $A_k$ такой, что $(A_k-U) \neq \emptyset$. Позволять$J=T \cup \{k\}$. Тогда по случаю 1 это противоречие с [$\cup A_i$ отключен]

---

Это нормально??
Я не уверен в этом ...

Answer 1

Есть несколько вещей, которых я не понимаю в вашем доказательстве. Особенно:

1. $U \neq \bigcup_j A_j$ : на каком наборе выполняется объединение?

2. То же самое для случая 2. с $T$.

Я бы просто сказал как $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ не должно быть пустым, возьмем $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$.

По гипотезе $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ мы можем предположить без ограничения общности, чем $x \in U$ (мы можем поменять местами роль $U,V$ в другом случае).

Теперь для любого $j \in J$, $A_j$ должен быть связан и $x \in A_j$. Следовательно$A_ j \subseteq U$ и наконец $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ доказательство того, что союз связан.