Все ли подобные эрмитовы матрицы унитарно подобны?

Aug 18 2020

Я не был $100\%$ уверен в точности того, что я получил, поэтому могу я попросить подтверждения?


Позволять $A,B\in M_n(\Bbb C)$- две подобные эрмитовы матрицы. потом$A=P^{-1}BP$.

Согласно спектральной теореме каждая эрмитова матрица диагонализуема, поэтому $A=U_1^{-1}DU_1$ и $B=U_2^{-1}DU_2$, где $U_1,U_2\in M_n(\Bbb C)$ унитарны и $D=\left(\delta_{ij}\right)\in M_n(\Bbb C)$ диагональная ул $\delta_{ii}\in\sigma(A)=\sigma(B)$.

поскольку $A$ и $B$ унитарно похожи на $D$, Я хотел написать $A$ в следующем виде: $$A=P^{-1}U_2^{-1}DU_2P$$ потом $U_2P=U_1\implies P=U_2^{-1}U_1$. Поскольку оба$U_1$ и $U_2^{-1}$ унитарны, $P$, как произведение двух унитарных матриц, также унитарна.

Вопрос по этому результату:

Все ли подобные эрмитовы матрицы унитарно подобны ?

Если это действительно так, можно ли его использовать в доказательстве того, что матричное представление эрмитова оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой матрицей? Утверждение очевидно, когда для произвольной эрмитовой матрицы просят ее диагонализовать. я думал$P$ может быть матрицей перехода от одного ортонормированного базиса к другому.


Заранее спасибо!

Ответы

1 Invisible Aug 19 2020 at 19:17

Как проверено @ StephenMontgomery-Smith, все подобные эрмитовы матрицы действительно унитарно подобны.

Хауэрвер, $P$ не обязательно должен быть унитарным, если, например, $A=B=0$. Тогда каждая обратимая$P$ хватит.


Вы можете увидеть этот параллельный вопрос, который я разместил на Quora, на который вчера ответил Аарон Данбрак .