Все ли собственные векторы вещественной симметричной матрицы ортогональны?
Как я узнал из линейной алгебры, вещественная симметричная матрица $A$ всегда имеет ортогональные собственные векторы, поэтому $A$ ортогонально диагонализуем. Но все ли собственные векторы вещественной симметричной матрицы ортогональны?
По факту, $A$ диагонализуема, поэтому мы можем найти обратимый $P$ и $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$Но я не могу доказать $P$ ортогонален. Я могу только найти, что $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ Так $P^{T}PS=SP^{T}P.$Это не может показать, что $P^{T}P=I_{n}.$
Так что это $P$ортогональные? Если нет, какова его связь с ортогональными собственными векторами?
Кстати, у меня возникла эта проблема, когда я читал лекцию.http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
Я думаю, что его способ доказать, что любая симметричная матрица имеет ортогональные собственные векторы, неверен.
Будем благодарны за любую помощь.
Ответы
Теорема в этой ссылке говорит $A$«имеет ортогональные собственные векторы» требует более точной формулировки. (Нет такой вещи, как ортогональный вектор, поэтому утверждение, что собственные векторы ортогональны, не совсем имеет смысла. Набор векторов ортогонален или нет, а набор всех собственных векторов не ортогонален.)
Очевидно, неверно утверждать, что любые два собственных вектора ортогональны, потому что если $x$ является собственным вектором, то также $2x$. Верно то, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. А это тривиально: предположим$Ax=ax$, $Ay=by$, $a\ne b$. потом$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$так $x\cdot y=0$.
Это неправильный PDF-файл? С формулировкой теоремы возникают серьезные проблемы . Но если предположить, что на самом деле он имеет в виду именно то, что я сказал выше, доказательство, вероятно, будет правильным, поскольку оно настолько простое.
В самом деле, вы не можете доказать, что матрица, диагонализирующая $A$ ортогонален, потому что он ложен.
Например, возьмите $A=I$(единичная матрица). Любая обратимая матрица$P$ диагонализует $I$, но конечно $P$ не обязательно должен быть ортогональным.
Если $A$ имеет $n$ различные собственные значения (где $A$ является $n\times n$), то утверждение верно, потому что собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны (см . ответ Дэвида К. Ульриха ).
В противном случае нужно брать основу из собственных векторов; тогда для каждого собственного значения$\lambda$, вы берете собственные векторы в базис, соответствующий $\lambda$и ортогонализировать его. Тогда вы получите ортогональный базис собственных векторов.
И да, доказательство в конспектах лекций неверно: использование $A=I$, аргумент показал бы, что любая обратимая матрица ортогональна, что, очевидно, неверно.