Всегда ли применение коэффициентов одной строки треугольника Паскаля к смежным элементам более поздней строки приводит к записи в треугольнике?
Мне было интересно, как доказать, что в целом, если я возьму любую строку треугольника Паскаля и применю все коэффициенты этой строки к смежным записям более поздней строки, вы получите запись в треугольнике Паскаля?
Например, можно показать, что если применить коэффициенты $1,2,1$во второй строке до любой более поздней строки вы получаете запись в треугольнике Паскаля. Более формально$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} +{n\choose r+2} = {n+2\choose r+2} \tag1$$ Аналогичным образом, показ того, что применение коэффициентов третьей строки к более поздним строкам приводит к записи в треугольнике Паскаля, потребует демонстрации того, что $${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = {n + 3\choose r+3} \tag2$$
Я знаю как показать $(1)$ используя определение выбора: ${n\choose k} = \frac{n^{\underline{k}}}{k!}$и просто расширяя все термины и упрощая. Но если показать общий случай, возможно, потребуется какая-то индукция?
Например, возможно, это эквивалентно демонстрации того, что $$\sum_{i=0}^j {j\choose i} {n\choose r + i} = {n + j\choose r+j} \tag3$$ за $j\geq 1$. Базовый случай - это просто тождество Паскаля, и я знаю комбинаторное доказательство, а также алгебраическое доказательство. Предположим индуктивную гипотезу. Нам нужно показать, что$$\sum_{i=0}^{j+1} {j+1\choose i}{n\choose r+i}={n+j+1\choose r+j+1} \tag4$$ Однако я не могу найти хорошей связи между этим шагом и индуктивной гипотезой.
Это своего рода обобщение тождества Паскаля.
Ответы
Да, это работает. Вот как сделать индукцию, проиллюстрировано ...
$${n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + {n\choose r+1} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + {n\choose r+2} \right\} = $$
$$ $$ $$ $$
= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =
$${n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + {n\choose r+3} = $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 2{n\choose r+1} + {n\choose r+2}\right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 2{n\choose r+2} + {n\choose r+3}\right\} = $$
$$ $$ $$ $$
= - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - = - =
$${n\choose r} + 4{n\choose r+1} + 6{n\choose r+2} + 4{n\choose r+3} + {n\choose r+4}= $$ $$ \left\{ {n\choose r} + 3{n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} +{n\choose r+3} \right\} + \left\{ {n\choose r+1} + 3{n\choose r+2} + 3{n\choose r+3} +{n\choose r+4} \right\} = $$