Замкнутость в теории схем
Позволять $X$ быть схемой и $(U_i)_{i\in I}$ открытое покрытие,
(1) Учитывая подмножество $Z\subset X$, Почему $Z\cap U_i$ закрыт для всех $i$ подразумевает, что $Z$ закрыто?
(2) Пусть $A$быть кольцом. Учитывая схемы морфизма$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ такой, что $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ закрыт для всех аффинных $A$ схемы $Y$, означает ли это, что $f$ закрыто повсеместно?
Ответы
(1) Потому что тогда
$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$
и с тех пор $U_i\cap Z$ закрыт в $U_i$ Мы видим, что $U_i-(U_i\cap Z)$ открыт в $U_i$ и таким образом открыть в $X$.
(2) Да, по 1). Чтобы проверить это$f$ универсально замкнуто, пусть $Y$ быть любым $A$-схема. Нам нужно показать, что$f(X_Y)$ закрыт в $Y$. Но пусть$Y=\bigcup_i U_i$ для аффинных открытых подсхем $U_i$ из $Y$. По 1) достаточно увидеть, что$f(X_Y)\cap U_i$ закрыт для всех $i$. Но обратите внимание, что$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. Действительно, это следует из декартовой диаграммы
$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$
Итак, достаточно показать, что $f(X_{U_i})$закрыто. Но с тех пор$U_i$ аффинный $A$-схему мы знаем это по предположению.
Конечные морфизмы схем замкнуты. . Посмотрите ответ здесь для первой части.
Позволять $Y$ быть $A$-схема. Сказать$Y=\bigcup_i Y_i$ где $Y_i \subset Y$- открытые аффинные подсхемы. Покажет$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$это замкнутая карта. Позволять$C\subset X\times_A Y$. Набор$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. потом$C_i$ закрыт в $X\times_A Y_i$ которая является открытой подсхемой $X\times_A Y$. У нас есть коммутативная диаграмма$\require{AMScd}$ \ begin {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> Y \ end {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ который закрыт в $Y_i$по предположению. Итак, в предыдущей части$f(C)$ закрыт в $Y$. Таким образом$f$ универсально закрыто.