ไพรม์สัมพัทธ์กับ $0$
คำถามนี้เป็นคำถามทั่วไป แต่ฉันจะใช้ทฤษฎีบทเพื่อกระตุ้นมัน
สมมติว่าฉันต้องการพิสูจน์ว่ามีเหตุผล $r$ ดังนั้น $r^3 + r + 1 = 0$. ขั้นตอนแรกคือสมมติว่ามีไฟล์$r$ดังนั้น $r = \frac{p}{q}$ ที่ไหน $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ ที่ไหน $p,q$ ค่อนข้างสำคัญ
นี่คือคำถามของฉัน ถ้านี้$r$ เป็น $0$ (ไม่ใช่และฉันสามารถแยกแยะออกได้ แต่ฉันสนใจว่าฉันต้องออกกฎให้เข้มงวดเต็มที่หรือไม่) $r = \frac{0}{q}$. แต่$0 \cdot 0 = 0$ และ $0 \cdot q = 0$ดังนั้นทั้งสองอย่าง $p$ และ $q$ มีปัจจัยร่วมกันของ $0$.
แต่ $\gcd(p,q) = 1$ยังคงตั้งแต่ $1 > 0$และดูเหมือนจะไม่สำคัญว่า $q$ เป็นลบ
จากสิ่งนี้ข้อสรุปของฉันคือมันไม่สำคัญถ้า $p = 0$และฉันไม่จำเป็นต้องพิจารณาเรื่องนี้ นั่นถูกต้องใช่ไหม? ถ้าฉันเขียนว่า "สมมติ$p$ และ $q$ ไม่มีปัจจัยร่วมกัน "ซึ่งค่อนข้างคลุมเครืออยู่แล้วเพราะแน่นอนว่ามีปัจจัยร่วมกัน $1$แต่สมมติฐาน "ค่อนข้างสำคัญ" ที่เป็นทางการกว่าดูเหมือนจะโอเค
คำตอบ
ถ้าเราแทนที่ "$p,q$ ค่อนข้างสำคัญ "กับ"$\frac pq$ อยู่ใน 'ระยะต่ำสุด' "จะเปลี่ยนวิธีคิดของคุณหรือไม่?
ถ้า $q > 1$ แล้ว $\frac 0q = \frac 01$ ดังนั้น $\frac 0q$ ไม่ได้อยู่ในเงื่อนไขต่ำสุด
ถ้าเราใช้สัญกรณ์ของ $\gcd$ และ "ญาตินายก" แม้ว่าการโต้เถียงจะเหมือนกัน
เช่น $0\cdot q = 0$ เรามีไฟล์ $q$ เป็นตัวหารของ $0$ และอื่น ๆ $\gcd(0, q) = q$ และถ้า $q > 1$ แล้ว $\gcd(0,q) = q$ และดังนั้นจึง
ถ้า $q>1$ แล้ว $0$ และ $q$ ไม่ได้ค่อนข้างสำคัญ
แต่ $\gcd(0,1) = 1$ ดังนั้น
$0$ และ $1$ ค่อนข้างสำคัญ
และเราสามารถดำเนินการต่อได้
====
แต่ในการวิเคราะห์ของคุณคุณสับสนและทำให้เกิดความสับสน
คุณพูด:
แต่0⋅0 = 0 และ0⋅q = 0 ดังนั้นทั้ง p และ q จึงมีปัจจัยร่วมกันคือ 0
ไม่มาก เรามี$0\cdot q =0$. คุณไม่ได้มี$0\cdot something = q$. ดังนั้น$0$คือไม่ปัจจัยของ$q$. ดังนั้น$0$ไม่ใช่ปัจจัยของสิ่งอื่นใดนอกจากตัวของมันเอง
สิ่งที่คุณจะมีและควรจะมีการกล่าวว่าเป็นเพราะ$0\cdot q = 0$ และ $1\cdot q = q$ นั่นคือ $q$ (และไม่ $0$) ที่เป็นปัจจัยร่วมของ $0$ และ $q$.
ในความเป็นจริงทุกสิ่งเป็นปัจจัยของ$0$ ดังนั้น $\gcd(0,anything) = |anything|$. (จำไว้$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ เพราะถ้ามีอะไรหารทั้งสองอย่าง $a$ และ $b$ มันยังแบ่ง $-a$ และ $-b$.)
และ $0$ และ $q$ เป็นวิธีที่ค่อนข้างสำคัญ $\gcd(0, q) = 1$. แต่$\gcd(0, q) = |q|$ เพื่อให้มี $0$ และ $q$ ค่อนข้างดีที่เราต้องมี $q = \pm 1$.
....
โอ้ฉันควรจะชี้ให้เห็นในขณะที่ปราซันบิสแก้ไขฉันว่าเมื่อเรากำหนด $\gcd(a,b)$และตัวหารร่วมที่ "ยิ่งใหญ่ที่สุด" ข้อความส่วนใหญ่ไม่จำเป็นต้องหมายถึงขนาด "มากที่สุด" แต่ "มากที่สุด" ในการหาร เรากำหนด$a\preceq b$ หมายความว่า $a$ หาร $b$และนั่นคือคำสั่งซื้อบางส่วน (ไม่ใช่ทั้งหมดไม่ใช่สององค์ประกอบใด ๆ ที่เปรียบเทียบกัน) การใช้คำสั่งนี้ตัวหารร่วมที่ "ยิ่งใหญ่ที่สุด" คือตัวหารร่วมที่ตัวหารร่วมอื่น ๆ ทั้งหมดแบ่งออกเป็น
ส่วนใหญ่คำจำกัดความจะเหมือนกับ if $a,b$ เป็นบวกทั้งคู่ $a\preceq b \implies a \le b$. และถ้า$a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกตัวหารร่วมที่ใหญ่ที่สุดในขนาดและตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในการหารเหมือนกัน
แต่ในกรณีนี้เมื่อทุกอย่างหารกัน $0$เรามีเสมอ $q\preceq 0$ และ $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ และ $0$คือความหารที่มากกว่าจำนวนเต็มทั้งหมด ดังนั้นแม้ว่าทั้งหมด$q$ เป็นตัวหารร่วมของ $0$ และ $0$, $\gcd(0,0) = 0$.