Atiyah-Macdonald'ın 11.20 Önerme Kanıtı

Question

11.20 numaralı önerme ispatında ileri sürülen kutup düzeni eşitsizliğini doğrulamakla uğraşıyorum. (Önerinin tam ifadesi ve kanıtı burada bulunabilir: Atiyah-Macdonald 11.20 ve 11.21 )

Sorum şu: bu eşitsizliği nasıl kanıtlayabilirim?

Kitapla ilgili çeşitli konuları kapsayan birkaç çevrimiçi kaynak buldum, ancak bu sorunla ilgili hiçbir şey bulamadım. Bence buna bir miktar atıfta bulunulmasının da faydalı olacağını düşünüyorum, zira bu kitaptan konuyu öğrenmeye çalışan herkes için anlayışlı bir cevap faydalı olabilir.

İlgilenmesi durumunda, kendi çabalarımı aşağıdaki ek varsayımlara dayandırdım:

1. $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ direk sırasına diğeri olarak bakmalıdır $d$ (karakteristik polinomun derecesi) yalnızca yerel halkalar için tanımlanmıştır.
2. Bu yüzüğün kademeli yapısı $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, nerede $\bigoplus A_n$ standart derecelendirmesidir $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$.

DÜZENLEME: Sanırım sorun kitapta oldukça derin olmadıkça yeterince açık değil, bu yüzden Bölüm 11'den (11.20) 'ye kadar bulunan ilgili sonuçların kısa bir özetini sunacağım: Noetherian dereceli bir yüzük için$A$ olarak oluşturulmuş $A_0$-algebra sıralama $s$ 1. derece homojen elemanlar, Teorem (11.1) Poincaré serisinin $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ herhangi bir sonlu oluşturulmuş derecelendirilmiş $A$-modül $M$ direğe sahip $d(M)\leq s$ -de $t=1$. Bu bir üst sınır verir$d(A)$ alırken $M=A$. (11.20) eşitsizlik, ancak, bir getirmektedir düşük bağlanmış için$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$. Kutup sırasının alt sınırı, metinde daha önce yalnızca eşitlik biçiminde, yani çok özel bir durumda, derecelendirilmiş halkanın ilişkili derecelendirilmiş halka olduğu durumda ortaya çıkar.$G_\mathfrak{q}(A)$ Noetherian yerel bir yüzüğün $A$wrt. bir$\mathfrak{m}$birincil ideal $\mathfrak{q}$ [kutup sırası $G_\mathfrak{q}(A)$ bu durumda dim'e eşittir $A$]. Bu nedenle zorluk, kutup sırasının alt sınırlarını belirlemek için sonuçların olmamasından kaynaklanmaktadır.

Answer 1

İzin Vermek $\bigoplus A_n$ standart derecelendirme olmak $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$. Dereceli halkaların homomorfizmi$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ örten ve çekirdeğe sahip $(\bar{f})$dolayısıyla $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ notu $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$. $\alpha$ bir haritayı tetikler $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ dan beri $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$ve böylece derecelendirilmiş halkaların aşağıdaki örten homomorfizmlerini elde ederiz: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ Bunu not et $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ ve $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ vardır $A/\mathfrak{q}$-hepsi için modüller $n$ (varsayarsak $s > 0$) ve bu nedenle sonlu uzunluğa sahip olmalıdır $A/\mathfrak{q}$Artin. Dan beri$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ homomorfik görüntüsüdür $A_n/\bar{f}A_{n-s}$bizde de var $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$. Sonunda o zamandan beri gözlemleyin$\bigoplus A_n$ olarak üretilir $A/\mathfrak{q}$-algebra sıralama $t_1,\dots,t_d$, diğer iki halka bunların ilgili görüntüleri tarafından oluşturulur. Bu görüntülerin tümü 1. derece homojen olduğundan, (11.2) 'den tüm büyük$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ bir polinomdur $g(n)$ derece $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ ve $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ bir polinomdur $h(n)$ derece $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$. Şimdi beri$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ herkes için $n$buna sahip olmalıyız $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, Böylece $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ bu eşitsizliği kanıtlıyor.