Bir işlev bulun $f$ öyle ki $\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ var ama $ \lim_{x\to{}0}{f(x)}$değil. [çiftleme]

Dec 28 2020

Bağlam:

Bazı Analizleri tazeliyorum ve şu anda M. Spivak'ın Calculus kitabındaki, özellikle de limitler hakkındaki 5. bölümdeki alıştırmalara gidiyorum. Bu soruyla karşılaşana kadar her şey yolunda gidiyordu. Bunu bir süredir şanssız düşünüyordum.

Soru: "Burada bir örnek verin$\lim_{x\to{}0}{f(x^2)}$ var ama $\lim_{x\to{}0}{f(x)}$ değil."

Denemelerim:

Önceki bir soru gösterdi ki $\lim_{x\to{}0}{f(x^3)}=\lim_{x\to{}0}{f(x)}$, bunun işe yaradığına inanıyorum çünkü herhangi bir gerçek sayının üçüncü kökünü bulabiliriz (epsilon - delta ispatında yararlıydı). Bu da beni yukarıdakilerin başarısız olduğuna inandırıyor çünkü negatif gerçeklerin karekökünü alamıyoruz. Bu beni, aşağıdakileri içeren işlevlerle oynamaya yönlendiriyor$\sqrt{x}$ ve 'belirsizliğini' negatifler üzerinde kullanmak.

İle başladım $f(x)=\sqrt{x-1}$ açıkça tanımlanmamış bir limiti olan $0$. Ancak bu elbette farklı değil (sınır dikkate alındığında$0$ Öyle $f(x^2)$.

Herhangi bir ipucu? Çok basit bir şeyi gözden kaçırıyormuşum gibi hissediyorum.

Yanıtlar

6 HagenvonEitzen Dec 28 2020 at 20:49

$$\begin{align}f\colon \Bbb R\setminus\{0\}&\to \Bbb R\\x&\mapsto \frac x{|x|}\end{align}$$

1 kam Dec 28 2020 at 22:07

Hagon von Eitzen'in cevabını gördükten sonra da başka bir örnek buldum.

Seçebiliriz $f(x)=\text{floor}(x)$.